有限差分方法

它的基本思想是：把連續的定解區域用由有限個離散點構成的格網來代替，這些離散點稱作網格的結（節）點：把在連續定解區域上定義的連續變量函數用在格網上定義的離散變量函數來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似；於是原方程和定解條件就近似地代之以代數方程組，解此代數方程組就得到原問題的近似解。有限差分方法簡單、通用、易於在計算機上實現。有限差分方法的主要內容包括：如何根據問題的特點將定解區域作網格剖分；如何把原方程離散化為代數方程組，即有限差分方程組;如何求解此代數方程組。此外，為了保證計算過程的可行及計算結果的正確，還須從理論上研究差分方程組的性態，包括解的存在性、唯一性、穩定性和收斂性。穩定性就是指計算過程中舍入誤差的積累應保持有界。收斂性就是指當網格無限加密時，差分解應收斂到原問題的解。差分方法因方程類型不同，定解問題提法不同而有着各自的特點和不同的內容。（見常微分方程初值問題數值解法、常微分方程邊值問題數值解法、偏微分方程初值問題差分方法、計算流體力學、守恆格式、偏微分方程邊值問題差分方法、玻耳茲曼方程數值解法）下面以求解二維泊松方程(1)在單位正方形：0≤x≤1；0≤y≤1上的簡單邊值問題為例説明用有限差分方法解橢圓型方程邊值問題的要點。設邊界條件是u(0，y)=u(x，0)=u(1，y)=u(x，1)=0。如圖1所示：用平行於座標軸的縱橫線把單位正方形分為等距格網，分別是x，y方向的步長，結點(xi，yj)記為(i，j)，u(xi，yj)記為uj，j，結點(i，j)可分為內點和邊點兩類。(i，j)，(i=1，2，…，M-1；j=1，2，…，N-1)是內點，其餘是邊點。對於內點(i，j)，把偏導數代以適當差商，例如於是，對於內點(i，j)可把(1)化為差分方程對於邊點，則有式(2)中內點的uj，j是未知的，共有(N-1)(M-1)個未知數，也有同樣數量的內點差分方程。因而把解偏微分方程邊值問題化成了代數方程組求解問題。用迭代法或直接法解這個代數方程組，即可求出未知函數u在結點(i，j)上的近似值uj，j。再以一維熱傳導方程(3)的初邊值問題為例，説明用有限差分方法解偏微分方程的初邊值問題的要點：設初值條件是　邊界條件是，式中如圖2所示，用平行於座標軸的縱橫線把求解區域(0＜x＜1，0＜t)分為格網，h=1/M，τ分別是空間和時間步長。對於格網點(j，n)，(j=1，2，…，m-1，n＞0)，把(3)中的偏微商用適當的差商來代替，例如將(4)代入(3)，得差分方程即。(5)根據初值條件，有。根據邊界條件，有。從邊界條件和初值條件，根據差分方程(5)以步進方式求解，即從t=0時的初值(n=0)，求出t=τ時的解(n=1)；從t=τ時的求得解，求出t=2τ時的解(n=2)，等等。在科學計算中所要求解的方程、計算區域、定解條件往往遠比上述兩例複雜得多。此時，網格剖分及離散化方法遠不是如此簡單和直觀。參考書目　馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京，1978。 ^[1]