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有補格
鎖定
有補格(complemented lattice)亦稱有餘格，是一種特殊的有界格，在有界格〈L，≤〉中，對於L中的任意元素a，如果存在b∈L，使得a+b=1，a·b=0，則稱元素b是元素a的補元。如果一個有界格的每個元素都至少存在一個補元，則此格稱為有補格。補元是對稱的，如果a是b的補元，則b也是a的補元，也可以説，a和b這兩個元素是互補的，對於任一元素a∈A，可以存在多個補元，也可以不存在補元
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- 中文名
- 有補格
- 外文名
- complemented lattice
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 有餘格
- 簡 介
- 是一種特殊的有界格
有補格基本介紹
一般地説，有界格中的元素不一定有補元，一個元素有補元也不必是唯一的。例如圖1所示的格中，a沒有補元，b有兩個補元，它們是d和c。
在圖2所示的格中，每個元素有且僅有一個補元，其中a和a'，b和b'，c和c'，0和1是四對互補的元素。
圖1 補元示意圖
圖2 補元示意圖
顯然，在有界格中，0是1的唯一補元，1是0的唯一補元。
有補格在一個有界格中，如果每個元素都至少有一個補元，則稱此格為有補格(Complemented Lattice)。對於任一元素a∈A，可以存在多個補元，也可以不存在補元。例如，在上圖所示的有界格中，因為d∨c=1和d∧c=0，所以d和c是互補的，但b沒有補元，而a和d都是e的補元
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圖3
圖4
圖5
有補格相關定理
定理1設<L,≼>是有界格且是分配格，a∈L，若a在L中有補元，則必是唯一的。
證明若b和c都是a在L中的補元，則有avb=1，a∧b=0，a∨c=1,a∧c= 0。
b=b∨0=b∨(a∧c)=(b∨a)∧(b∨c)=b∨c，同理得c=b∨c，b=c。
由於b=c，所以a的補元唯一。
因此,有補分配格中毎一個元素有且只有一個補元，於是，若<L,≼>是有補分配格，< L,∨,∧>是它透導的代數系統,則可在L中定義一種“補”的一元送算"－",對L中的任意一個元素a,
表示a的補元，這樣由有補分配格<L,≼>秀導的代數系統也記為<L,∨,∧,－>或<L,∨,∧,－,0,1>,其中0, 1分別是最小元和最大元。
定理2 設<L,∨,∧,－,0,1>是有補分配格<L,≼>誘導的代數系統,則對a,b∈L有
=a,
證明 由補元的定義可知, a和
是互補的,就是説
的補元是a，所以
=a,由
(a∨b)∨(
∧
)=((a∨b)∨
)∧((a∨b)∨
)
= (b∨(a∨
))∧(a∨(b∨
)=(b∨1)∧(a∨1)=1∧1= 1
和
(a∨b)∧(
∧
)=(a∧(
∧
))∨(b∧(
∧
))=((a∧
)∧
)∨((b∧
)∧
)
= (0∧
)∨(0∧
)=0∨0=0
可知a∨b的補元位
∧
,因為有補分配格中任一元素的補元是唯一的, 所以
。
同理可證
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