有界點集

實數的一個集合

，如果有實數

，使得

中的所有點

，都有

。

稱為S的上界。類似地可定義了下界。如果集具有上限和下限, 則該集合為有界的 ^[1]  。

歐氏空間

的一個集合

，如果有實數

，使得

中的所有點

，都有

。則該集合為有界的。

度量空間

的子集

是有界的，如果它包含在有限半徑的球中，即存在

和

，使得對任意的

，有

。

稱為有界度量空間 ，如果M作為其自身的子集是有界的。

實數的子集是有界的，如果存在一個上界和一個下限。此定義可擴展到任何偏序集的子集 ^[2]  。須要注意, 這個更一般的有界概念並不對應於 "數的大小" 的概念，而是一種順序的前後。

偏序集

的子集

稱為有上界的，如果存在元素

，使得對任意

，有

。

稱之為

的一個上界。類似地，可以定義有下界的。若子集既有上界同時有下界，則稱為有界的。

對歐氏空間

中的

，定義偏序

當僅當a₁≤a₂且b₁≤b_2，此時，歐氏空間的子集有界性等價於在剛才定義偏序集的有界性。類似地，可推廣到

。