有理根定理

有理根定理是一個關於任意整係數方程的有理根的定理。

在代數中，有理根定理（或有理根測試，有理零定理，有理零測試或

定理）表示對多項式方程的有理解與整數係數的約束。

這些解是方程左側多項式的可能d 根（相當於零）。

如果

和

不為零，那麼當最低項（即p和q的最大公約數為1）寫為

的分數時，每個有理解x滿足

p是常數項

的整數因子，q是導數係數

的整數因子。

有理根定理是高斯引理對多項式因式分解的特殊情況（單線性因子）。 如果導數係數

，則整數根定理是有理根定理的特殊情況。 ^[1] 

為了確定一個多項式是否有任何有理根，使用該定理，如果是這樣就可以找出它們。 由於定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數的除數的約束，所以可以檢查除數的所有可能的組合，或者找出有理的根，或者確定沒有一個。 如果找到一個或多個，則可以將它們從多項式中分解出來，導致較低程度的多項式，其根也是原始多項式的根。

一般三次方程：

整數係數在複平面中具有三個解。 如果通過有理根定理發現沒有有理的解，則代數方法表達解的唯一方法是使用立方根。 但是如果測試找到三個有理的解，那麼可以避免立方根。 並且如果發現存在一個有理的解r，則可以使用多項式長分割從三次多項式中求出

，得到二次多項式，其中兩根是立方的剩餘兩根；並且這些可以使用二次公式找到，再次避免使用立方根。 ^[2] 

對於一些a0，...，an∈Z，令

並且假設對於一些互質p、q，

，q∈Z則

如果我們兩邊都乘以

，將常數項轉換到右邊，並將左側的p代入，得到

我們看到p乘以圓括號中的整數等於

，所以p能被

整除。

如果我們把它轉移到右邊，並把左邊的q值換算出來，我們就得到了，

這裏p與q互質,因此,p與q^n也是互質的。因此,p一定是a_0的因子。反之,q是a_n的因子。使用高斯引理證明：

如果存在分解多項式的所有係數的非平凡因子，則可以除以係數的最大公因數，以便獲得高斯引理意義上的本原多項式; 這不會改變一套有理根源，只能加強可分割條件。 這個引理説，如果

中的多項式因子，那麼它也將

作為原始多項式的乘積。 現在任何有理的根

對應於多項式的

中的1的因子，並且其原始代表是

，假設p和q是互質的。 但是，

的

中的任何多項式都可以被q整除，並且可以被p整除的常數項可以被引導。 這個論點表明，更普遍地説，P的任何不可約因子都可以被認為具有整數係數，並且前導和常數係數除以P的相應係數。 ^[3] 

在多項式中

任何有理根完全減少將必須有一個分子均勻分為1和一個分母均勻分為2因此唯一可能的有理根是±1/2和±1; 由於這些都不等於多項式為零，所以沒有有理的根。

在多項式中

唯一可能的有理根將有分子6和分母1的分母，將可能性限制在±1，±2，±3和±6。 其中，1，2和-3將多項式等效為零，因此是其有理根。

下式多項式的根

一定在符號下面表示的數字之中，

其中列出了8個可能的答案：

這些根可以使用霍納的方法進行測試。 在這種特殊情況下，只有一個有理根。 如果根候選不使多項式等於零，則可用於縮短剩餘候選列表。例如，

不起作用，因為多項式然後等於1。這意味着用

代入

中的常數項1，而係數

保持與

的係數相同的多項式。 因此，應用有理根定理可以產生以下可能的根t：

因此，

排除在兩個列表上都不出現的根本的候選人。 有理根本候選人名單因此縮小到

和

。

如果找到k個有理根（k≥1），霍納方法也將產生一個度數

的多項式，其根與有理根恰好是原始多項式的根。 也許沒有一個候選人是解決方案的情況; 在這種情況下，等式設置多項式的方程式沒有有理的解。 如果方程缺少常數項

，則0是方程的有理解之一。