最後通牒博弈

最後通牒(Ultimatum)的字面意思是指談判破裂前的“最後的話”，一般指一方就某問題書面通知對方，限其在一定時間內接受其條件，否則將採取某種強制措施。最後通牒的英文含義源自拉丁語“Uhimatus”，其意指一方向另一方提出的不容商量的或沒有任何先決條件的建議，一般用於處於敵對狀態中的軍事雙方之中。在日常的經濟行為如競爭對手之間的談判中最後通牒作為一種策略也起着重要作用。

將以上的情景抽象出來，我們就得到了一個簡化的博弈模型：一個提議者和一個迴應者就交易中的m元收益價值進行討價還價。提議者出價x元（0<x≤m）給迴應者，留給自己m-x元。迴應者接受，則迴應者得到x元而提議者得到m-x元。迴應者拒絕，則雙方什麼都得不到。

對於最後通牒博弈，如果提議者和迴應者都是完全理性的，則當提議者出價給x元迴應者而留下m-x元給自己時，迴應者將選擇接受，因為選擇接受能夠得到x元，選擇拒絕則什麼都得不到，能夠得到x元比什麼都得不到要好。提議者知道從個人利益最大化考慮，不論出價多少迴應者都將接受，提議者則出價x就會盡量的少，而使自己所得利益m-x達到最大。事實上，提議者按最小出價單位出價而回應者接受是該博弈的唯一子博弈精練納什均衡。比如m是100元而最小出價單位是1元，此時提議者以最小出價單位出價1元，只要迴應者完全理性，為得到這1元，則將被迫接受提議者的出價，最終提議者得99元，迴應者得1元，從而陷入了最後通牒的博弈困境。我們可以寫出m=100時的收益矩陣，並觀察到拒絕是嚴格劣勢策略：

普遍的看法是，提議者和迴應者各得一半收益價值的出價才是公平的。迴應者對提議者符合子博弈精練納什均衡的出價是不會滿意的，因為這樣的出價顯然不公平。

最後通牒博弈實驗(Ultimatumgame，UG)始於1982年的德國柏林洪堡大學 ^[1]  。在該校經濟學系的古斯(WernerGuth)等三位教授的支持下，42名學生每兩人一組參加了一項名為“最後通牒”的有趣的博弈論實驗。實驗中兩個人分4馬克。其中一個人扮演提議者(Proposer)提出分錢方案，他可以提議把0和4之間任何一個錢數歸另一人，其餘歸他自己。另一人則扮演迴應者(Responder)，他有兩種選擇：接受或拒絕。若是接受，實驗者就按他們所提方案把錢發給兩人。若是拒絕，錢就被實驗者收回，兩個人分文都拿不到。

為防止交情、一時衝動、事後的社會議論等因素起作用，實驗採取雙盲方式。提議者和迴應者都不知道對方是誰。在實驗規則宣佈後，他們有一天的時間作慎重考慮，填一張表報個數字交給實驗主持者。然後實驗者將報來的方案交給一位迴應者，後者決定拒絕還是接受。

這個實驗重複了兩次。第一次實驗，參與實驗的21組被試者均對該題目缺乏經驗。有7組的提議者建議對半分；有2組的提議者要求獨佔4馬克，其中一位提議者的提議被接受，另一位被拒絕；其餘12組提議者提出的分給迴應者的金額均大於1馬克，其中有1個給予迴應者1.2馬克的分配提議被拒絕。在第一次實驗中提議者提出給迴應者的比例平均為37%，共有2個提議被拒絕。一週以後重複進行第二次實驗，經過一週的思考以後，許多提議者不像第一次實驗中那樣慷慨了，但是提議的分配額還是比馬克的最小貨幣單位大許多。這一次的結果是提議者提出給迴應者的比例平均為32%，只有2位提議者提出平均分配；只有1位提議者提出給迴應者的金額小於1馬克，該提議被迴應者拒絕；3個給迴應者1馬克的提議被拒絕了；此外還有1個給迴應者3馬克的提議也被拒絕了。第二次實驗共有5個提議被拒絕。

實驗結果顯示，不論是對提議者還是對迴應者的行為，博弈論對最後通牒博弈沒有得出一個有説服力的解釋，而且也不能對現實世界中的人們的真實行為提出滿意的預測。主持實驗的古斯等教授指出原因在於受試者是依賴其公平觀念而不是利益最大化來決定其行為的。實驗中人們所表現出來的公平分配的傾向與傳統經濟學中“經濟人”的假設明顯不相符。

對以提議者和迴應者分配一定數量獎金的方式，Güth Schmittberger and Schwarze（1982）最早進行了最後通牒博弈實驗，從實驗的結果來看，提議者平均把總獎金的37%分給了迴應者，而有近50%的迴應者拒絕了僅獲得低於獎金總額20%的提議者的出價。其後，Roth,Prasnikar,okuno-fujiwara,and Zamir（1991） ^[2]  、Bolton and Zwick（1995） ^[3]  、Croson（1996）、Larrick and Blount（1997）、Slonim and Roth（1998）、Camerom（1999）、List and Cherry（2000）、Eckel and Grossman（2001） ^[4]  等也相繼進行了實驗。在這些實驗中，平均出價水平最高的是Roth,Prasnikar,okuno-fujiwara,and Zamir進行的實驗，提議者平均把總獎金的45%分給了迴應者。平均出價水平最低的是Bolton and Zwick進行的實驗，提議者平均僅把總獎金的23%分給迴應者。對提議者的出價，迴應者拒絕水平最高的是Bolton and Zwick進行的實驗，有35%的出價被迴應者拒絕，迴應者拒絕水平最低的是Eckel and Grossman進行的實驗，僅有12%的出價被迴應者拒絕。這這些實驗中，極少出現把總獎金的50%以上或只把極少獎金分給迴應者的出價。Forsythe （1994） ^[5]  進行了另一類被稱為獨裁者博弈的實驗，與最後通牒博弈進行比較，獨裁者博弈中提議者的任何出價都不需要回應者的迴應，結果是提議者還是平均把獎金總額的20%分給了迴應者，雖然提議者分給對方的獎金比在最後通牒博弈中的要少。

通過這些實驗，一般性結論是，對於最後通牒博弈，雖然實驗已證明出於公平性，絕大多數提議者並不會按子博弈精練納什均衡指示的策略出最低價，而是給迴應者更多的利益，一些迴應者也表現出了對不公平的出價予以拒絕的勇氣，但實驗結果的數據同樣也證實了，提議者絕不會因為要做到公平放棄自己的利益，各次實驗中平均出價水平最高45%最低僅把總獎金的23%分給迴應者，極少有高於50%的出價充分説明了這點。對於不公平的出價，迴應者也並不是總是拒絕，相反，在各次實驗中，所有出價最多也只有35%的被迴應者拒絕，最低僅有12%的出價被迴應者拒絕的事實説明對不公平的出價，迴應者多是選擇了接受，除非提議者的出價過於不公平。

獨裁者博弈（Dictator game）可以看作是最後通牒博弈的簡化，此時玩家1（對應於提議者）作為獨裁者可以提出任意一種將固定數量的收益在兩名玩家之間分配的方案，而玩家2（對應於迴應者）只能被動接受這種方案。

海盜分金博弈（Pirate game）可以看作是最後通牒博弈的多人版本。5名海盜依次提出自己對100枚金幣的分配方案，方案提出後由全體5名海盜投票決定是否接受這一方案，若少於半數海盜投票贊成，則將方案提出者扔出船外，下一名海盜繼續提出自己的分配方案；否則按照此方案分配金幣。