最大公因式

設

、

是數域

上的多項式，即

，若存在

是

、

的公因式，且

是

和

所有公因式的倍式，則稱

為

和

的最大公因式，記為

所以，最大公因式有兩個含義：第一，首先是公因式；第二，又是所有公因式的倍式，即體現“最大性”。 ^[1] 

①設

、

是數域

上的多項式且不全為0，則其最大公因式一定存在。

②若

與

都是

和

的最大公因式，那麼

與

最多相差一個非零常數因子，即

。另一方面，

和

的最大公因式與任意非零常數的乘積也是其最大公因式。因此，最大公因式不是唯一的，但首項係數為1的最大公因式是唯一的。

③

，即任意的

和0的最大公因式是

自身。

④若

整除

，即

整除

，則

。 ^[1] 

輾轉相除法是求最大公因式的一種行之有效的方法，過程敍述如下：

設

、

是數域

上的多項式且不全為0，不妨設

。利用帶餘除法，以

除

得

。若

，再以

除

得

。若

，則又用

除

。如此繼續下去，每一步都至少使得餘式降低一次，經過有限次帶餘除法後，必然得到這樣一個

，它整除

，即

。此時

即為

、

的最大公約數。 ^[1]