最大元

一種特殊元素，指偏序集的子集中不小於一切元素的元素。令<A，R>是偏序集，

，如果對每一個

都有xRb，則稱b是<B，R>的最大元。對給定的<B，R>不一定有最大元，若有最大元，則是惟一的。<A，R>的最大元稱為單位元，記為1。<B，R>的最大元是<B，R^-1>的最小元；反之亦真。最大元是惟一的極大元。

定義1，設P是集合，P上的二元關係“≤”滿足以下三個條件，則稱“≤”是P上的偏序關係（或部分序關係）：

（1）自反性：a≤a，∀a∈P；

（2）反對稱性：∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，則a=b；

（3）傳遞性：∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，則a≤c；

具有偏序關係的集合P為偏序集（或稱半序集），記為（P，≤）。a≤b讀作“a小於或等於b”或“a含於b”，a<b讀作“a小於b”或“a真含於b”。這裏a<b等價於a≤b且a≠b，∀a，b∈P。若a≤b或b≤a，則稱a與b是可比的，否則就説a與b是不可比。a與b不可比記作a||b。

定義2，設（P，≤）是偏序集，對於P中任意二元x，y有x≤y

yRx，則稱R是≤的逆關係，記作≤^-1。≤^-1稱為≤的逆。

定理1，設（P，≤）是偏序集，則（P，≤^-1）也是偏序集，偏序集（P，≤^-1）稱為偏序集（P，≤）的對偶，簡記作P^-1。

定義3，設（P，≤）是偏序集，N

P，由於關係≤是P×P的子集，令≤_N=≤∩(N×N)是≤與N×N的交集，則稱≤_N是關係≤在N上的限制。

定理2，設（P，≤）是偏序集，關係≤_N是≤在N上的限制，則（N，≤_N）是偏序集，稱為（P，≤）的子偏序集。 ^[1] 

偏序集中的一種特殊元素，指偏序集中沒有與它可比較的更小的元素。設<A，R>是偏序集，

，若不存在

，使得 xRb 且 x≠b，則b稱為<B，R>的極小元。對給定的<B，R>可以有一個或多個極小元，也可以沒有極小元。若a與b是<B，R>的兩個不同的極小元，則

且

。當B為有限集時，<B，R>一定有極小元。 ^[2] 

偏序集中的一種特殊元素，指偏序集中沒有比它更大的可比較的元素。設<A，R>是偏序集，

，若不存在

，使得 bRx 且x≠b，則b稱為<B，R>的極大元。對給定的<B，R>可以有一個或多個極大元，也可以沒有極大元。若a與b是<B，R>的兩個不同的極大元，則

且

。當B為有限集時，<B，R>一定有極大元。 ^[2] 

一種特殊元素，指偏序集的子集中小於或等於一切元素的元素。令<A，R>是偏序集，

，如果對每一個

都有bRx，則稱b是<B，R>的最小元。對給定的<B，R>不一定有最小元，若有最小元，則是惟一的。<A，R>的最小元稱為零元素，記為0。<B，R>的最小元是<B，R^-1>的最大元；反之亦真。最小元是惟一的極小元。 ^[2] 

設<A，R>偏序集，B含於A；

①若y∈B滿足任取x∈B，y≤x→x=y，則稱y為B的極大元；(箭頭表示“藴含”)

②若y∈B滿足任取x∈B，x≤y，則稱y為B的最大元；

易得最大元必是極大元，但極大元不一定是最大元，應注意極大元和最大元的區別。 最大元是B中最大的元素，它與B中其它元素都可比；而極大元不一定與B中其它元素都可比，只要沒有比它大的元素，它就是極大元。對於有窮集合B，極大元一定存在，但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的，但極大元可能有多個。

請注意極小元和最小元的區別。最小元是B中最小的元素，它與B中其它元素都可比；而極小元不一定與B中其它元素都可比，只要沒有比它小的元素，它就是極小元。對於有窮集合B極小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的，但極小元可能有多個。 ^[3]