最優控制方法

形成與發展50年代以來，以控制理論為基礎的自動控制技術和自動化科學得到了迅速的發展和廣泛的應用，出現了現代控制理論，即最優控制理論。它在空間計劃中的成就啓發了經濟學家採用現代控制理論來解決各種經濟問題。最優控制理論在經濟中的應用，最早始於60年代對經濟增長問題的研究，即研究產量隨時間在消費與投資之間的最優分配問題，研究各部門之間的投資分配問題。一些經濟計量學家把最優控制理論用於短期的小規模的經濟計量模型（見經濟計量分析），企圖解決宏觀經濟中的最優決策和計劃問題。

應用在經濟領域內，最優控制方法不僅適用於解決宏觀經濟範圍內的最優計劃和管理的問題，而且也適用於解決微觀經濟範圍內的最優計劃和管理的問題。在經濟政策的制訂中應用最優控制方法，其基本結構和內容與最優分析相類似。首先要確定控制的目標，建立與之相應的優化指標，即使其達到最大值（或最小值）的目標泛函（目標函數），它通常表為福利函數或損失函數、費用函數等形式，以代表政策的目標。其次要建立反映一定時期內經濟運行過程的經濟模型（如動態投入產出模型、經濟計量模型等），來描述受控系統的運行過程，這裏包括滿足可控性條件的狀態轉移方程（表為微分方程、差分方程或遞推方程的形式）以及滿足可觀測性條件的輸出方程。另外，還要建立對控制函數的約束。以上這些構成了最優控制的約束條件。最優控制方法的目的就是找出在上述約束條件下使用目標泛函達到最優值的控制函數。

在經濟政策的制訂中應用最優控制方法，其有效性在很大程度上取決於經濟模型的質量及模型所適用的時期長短。在經濟政策的制訂中可以採用兩種方式來運用最優控制方法。一種叫做開回路控制方法，即計算出未來一定時期內使目標泛函達到最優值的最優途徑及相應的最優政策安排。在這種情況下，如果沒有干擾，那麼每個時期計算出來的最優途徑發展的政策就可作為最優政策被適時地採用。在開回路控制方式下，狀態的變化與控制之間沒有反饋，當政策失效時也就不會自動進行調整，需要重新計算最優途徑及相應的最優政策。為了克服這種困難，採用另一種閉迴路控制方式，即將控制表為一組可改變的政策規則，通過這種規則將控制與狀態變化的信息聯繫起來，自動地調整和計算最優的政策安排，以保證能反映狀態變化的最優途徑。

與靜態優化問題相對應，最優控制問題實質上是動態過程的優化過程。在經濟領域內，這類動態過程的優化問題主要是在時間過程中的各種分配問題。連續過程的最優控制問題的數學模型可以寫成下列微分方程的形式：

凧=F（x,u,t）

x是刻劃受控過程狀態的量,也就是確定受控過程在每一時刻t的狀態的量，一般地説,x是一個向量。u是確定受控過程運行進程的控制函數，也是一個向量。t 是時間。為了使受控過程在時間的某一閉區間[t0，t1]上是確定的，就需要在[t0,t1]上給定一個以時間t為自變量的控制函數u（t）。這時，若給定x的初始值x（t0）=x0,即給定受控過程的一個初始狀態，就唯一地確定了方程的解,也就是説,唯一地確定了狀態點的一條軌線。這個受控過程的最優控制問題是根據所要達到的控制目的，列出下列積分形式的目標泛函：

在這裏，控制函數u（t）對目標泛函J（u）的作用是雙重的，一是直接通過被積函數I（x,u,t）作用於J（u）,另外還通過微分方程而驅動受控狀態x（t），從而影響被積函數I（x,u,t）,進而影響J（u）。

因此，對於每一個在[t0，t1]上給定的控制函數u（t），唯一地確定了一個受控過程的進程，並使目標泛函取確定的數值。現假定至少存在着一個將受控過程從給定初始狀態x0 驅動到指定終端狀態 x（t1）=x1 的控制函數，需要從可準控制函數集中尋找一個控制函數u*（t）,使得:①受控過程從狀態x0到狀態x1的轉移得以實現;②目標泛函達到最小值（或最大值）。這個控制函數u*（t） 稱為最優控制函數。此外，由於具體條件，控制函數本身還要受到一些限制,在尋找最優控制函數u*（t）時，同樣應對它加以考慮。

通常採用蘇聯數學家Л.С.龐特里亞金（1908～）在1959年創造的“最大值原理”來求解這類連續過程最優控制問題。

另一類最優控制問題是離散過程的最優控制問題。這類問題的基本結構與連續過程最優控制問題相似，它包括狀態轉移方程、對控制的約束、目標函數。通常採用R.貝爾曼在1957年創造的以最優性原則為核心的動態規劃方法來求解這類離散過程最優控制問題。