替換公理

代數替換公理(algebraic substitution axiom)：在任一代數恆等式中，每一個字母符號只是一個泛指的變量，因而可用其它形式的字母或恆等的函數表達式(只要用這些表達式替換後等式兩邊均仍有意義)替換，替換後等式仍成立。其數學表達式為：

若

則必有：

代數替換公理的實質就是可將任意的子函數視作一個變量，以便於用較簡練的公式，分層次地處理較複雜的運算。代數替換公理是代數本質的體現，它適用於一切數學領域。代數替換公理的哲學依據是真理一元論，即：真理的形式是多種多樣的，如一個真理可以用英語、漢語等多種語言表達，即使對於同一種語言，一個真理也可能有多種表達方式，但是真理的實質內容則是唯一的．比如，對於實數集R，既可以用x表示任意實數，又可以用a表示任意實數，但是x和a表示的都是實數 ^[1]  。

例1：

，用x和y分別代替a和b，得

.

例2：

，用

代替

，則得：

代數替換公理是一個普遍的邏輯規律，布爾代數中的代入規則只不過是它的特例而已。

邏輯代數是研究邏輯變量及其相互關係的一門科學，由於它是英國數學家喬治·布爾（Geoge Boolen）於 1849 年提出來的，因此也稱為布爾代數。邏輯代數是分析和設計數字電路的基礎。電子計算機是對 “0” 或 “1” 進行處理的，它們是通過電子開關線路實現的。這些開關電路具有下列特點：從線路內部看，或是管子導通，或是管子截止；從線路的輸入輸出看，或是高電平，或是低電平。這種開關電路的工作狀態可以用二元布爾代數描述，通常又稱為開關代數，或邏輯代數。

(1)代入規則

對於任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數同時取代等式兩端的任何一個邏輯變量後，等式依然成立，是替換公理的一個應用。

(2)反演規則

在邏輯代數中，常將 非F 叫做邏輯函數 F 的反函數或補函數。反演規則是將一個邏輯函數表達式 F 中所有 “與” 符號換為 “或” 符號；所有 “或” 符號換為 “與” 符號；所有原變量換為反變量；所有反變量換為原變量；“0”換成“1”；“1”換成“0”，所得新的邏輯表達式為原函數的反函數。獲得反函數的規則就是反演規則。利用反演規則可以方便地求得函數的反函數 F。

(3)對偶規則

設 F 為一個邏輯表達式，若將 F 中的 “與” 符號換為 “或” 符號；將 “或” 符號換為 “與” 符號；將 “1”換為“0”，將 “0” 換為 “1” ；所得新的邏輯函數表達式稱為 F 的對偶式，記作 F' ，獲得對偶式的規則稱為對偶規則。如果兩個邏輯函數表達式相等，那麼它們的對偶式也一定相等。利用對偶式規則，可以幫助人們減少公式的記憶量。