曲面積分

定義

設

為空間中的曲面，

為定義在

上的函數．對曲面

作分割

，它把

分成

個可求面積的小曲面片

，

的面積記為

，分割

的細度為

，在

上任取一點

, 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限

為

在

上的第一型曲面積分 ^[1]  ，記為

或者簡寫成

。

第一型曲面積分的計算

設空間曲面S的方程為

，

，其中

為曲面S在

平面上的投影域，函數

在曲面S上連續，如果

在

上有連續的一階偏導數，則有

其中

是

在

上的投影域，

和

表示在

內某點

處的兩個偏導數。由第一型曲面積分的定義，於是將第一型曲面積分化為二重積分的計算 ^[1] 

物理意義

表示以

為面密度的空間曲面S的“質量”，即將空間曲面S想象成一塊光滑的（可微的）不折疊的（單值的）質量分佈服從

的薄板，故

在S上的第一型曲面積分就是薄板的代數質量 ^[2]  。

設

為空間中的曲面，

為定義在

上的函數．對曲面

作分割

，它把分成

個可求面積的小曲面片

，

分別代表

在三個座標面的投影面積。分割

的細度為

，在

上任取一點

, 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限

為

在

上的第二型曲面積分 ^[1]  ，記為

或者簡寫成

。

第二型曲面積分的計算

設空間曲面S的方程為

，

，其中

為曲面S在

平面上的投影域，函數

在曲面S上連續，如果

在

上有連續的一階偏導數，則有

物理意義

表示以

為空間流體的流速場，單位時間流經曲面

的總流量 ^[2]  。