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曲線束
鎖定
曲線束,是經典代數幾何的常用術語。所有曲線束的曲線都通過它的兩條基線的交點。所有曲線束的公共點(基線的交點)叫做曲線束的中心。
- 中文名
- 曲線束
- 外文名
- Pencil
- 類 別
- 數學名詞
- 映 射
- Φ:X→P^n.
曲線束定義
當給出了線性獨立函數
及
與及不同的參數值λ ,方程式
在各種參數值λ 的條件下,曲線
的集合構成一族曲線,它叫做曲線束。
曲線
及
組成線束的基線,第一曲線屬於參數值 λ=0 的曲線束。我們亦把第二曲線歸入曲線束中,它是當參數 λ 無限增大時的結果。
為了使第二基線不是曲線束的例外情況,最方便地時以下列的比來代替參數λ
曲線束定理
所有曲線束的曲線都通過它的兩條基線的交點。
實際上,基線的交點座標使函數
及
為零。因而帶着任意的係數 λ 的它們的和也等於零,即是當參數 λ 未任意值時,方程式
都成立。
這意味着,曲線當每一交點座標都滿足曲線束的任何曲線方程式,而這些交點本身式屬於曲線束中所有曲線的。
曲線束曲線束的中心
所有曲線束的公共點(基線的交點)叫做曲線束的中心。
通過平面上非曲線束中心的任何一點,有一而且只有一條曲線束的曲線。
設
是平面上任意一點,但不是曲線束的中心。現在要證明,有一而且只有一條曲線束的曲線通過它。
以值
代入曲線束 (4') 的方程式,得
如果
,即是點 M* 不在第二基線 (5) 上,那麼,由方程式 (a) 可以得到比值
,即
如果
及
,那麼方程式 (a) 給出了 p=0。即是第二基線通過 M 點。