曲線束

當給出了線性獨立函數

及

與及不同的參數值λ ，方程式

確定不同的曲線。

在各種參數值λ 的條件下，曲線

的集合構成一族曲線，它叫做曲線束。

曲線

及

組成線束的基線，第一曲線屬於參數值 λ=0 的曲線束。我們亦把第二曲線歸入曲線束中，它是當參數 λ 無限增大時的結果。

為了使第二基線不是曲線束的例外情況，最方便地時以下列的比來代替參數λ

那麼方程式

除去分母之後取得形式：

曲線束的每一條曲線對應餘數偶 p，q 以及所有與它們成比例的數。第一基線對應餘值 q=0 與及任意 p 值，第二基曲線的對應值時 p=0，及任意的 q。

所有曲線束的曲線都通過它的兩條基線的交點。

實際上，基線的交點座標使函數

及

為零。因而帶着任意的係數 λ 的它們的和也等於零，即是當參數 λ 未任意值時，方程式

都成立。

這意味着，曲線當每一交點座標都滿足曲線束的任何曲線方程式，而這些交點本身式屬於曲線束中所有曲線的。

所有曲線束的公共點（基線的交點）叫做曲線束的中心。

通過平面上非曲線束中心的任何一點，有一而且只有一條曲線束的曲線。

設

是平面上任意一點，但不是曲線束的中心。現在要證明，有一而且只有一條曲線束的曲線通過它。

以值

代入曲線束 (4') 的方程式，得

如果

，即是點 M* 不在第二基線 (5) 上，那麼，由方程式 (a) 可以得到比值

，即

這 λ 值決定曲線束中一條通過給與點點曲線。

如果

及

，那麼方程式 (a) 給出了 p=0。即是第二基線通過 M 點。

如果

及

，那麼方程式 (a) 變為恆等式，p 及 q 為不定。在這種情況下座標

滿足基線 (5) 點兩個方程式。而 M* 與曲線束的中心重合，這是與定理假設的條件矛盾的。 ^[1]