曲率半徑

在微分幾何中，曲率的倒數就是曲率半徑，即R=1/K。平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。對於曲線，它等於最接近該點處曲線的圓弧的半徑。 對於表面，曲率半徑是最適合正常截面或其組合的圓的半徑。 ^[1] 

曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度，特殊的如：圓上各個地方的彎曲程度都是一樣的故曲率半徑就是該圓的半徑；直線不彎曲 ，和直線在該點相切的圓的半徑可以任意大，所以曲率是0，故直線沒有曲率半徑，或記曲率半徑為

。

圓形半徑越大，彎曲程度就越小，也就越近似於一條直線。所以説，曲率半徑越大麴率越小，反之亦然。

如果對於某條曲線上的某個點可以找到一個與其曲率相等的圓形，那麼曲線上這個點的曲率半徑就是該圓形的半徑（注意，是這個點的曲率半徑，其他點有其他的曲率半徑)。也可以這樣理解：就是把那一段曲線儘可能地微分，直到最後近似為一個圓弧，此圓弧所對應的半徑即為曲線上該點的曲率半徑。

在空間曲線的情況下，曲率半徑是曲率向量的長度。在平面曲線的情況下，則R要取絕對值。

其中s是曲線上固定點的弧長，α是切向角，K是曲率。

如果曲線以笛卡爾座標表示為

，則曲率半徑為（假設曲線可微分）

如果曲線由函數

和

參數給出，則曲率為

如果

是

中的參數曲線，則曲線各點處的曲率半徑

由下式給出：

作為特殊情況，如果f（t）是從R到R的函數，則其圖的曲率半徑γ（t）=（t，f（t））是

對於上半平面半徑a的半圓：

對於上半平面半徑a的半圓：

半徑a的圓的曲率半徑等於a。

在具有長軸2a和短軸2b的橢圓中，長軸上的頂點具有任何點的最小曲率半徑，

；

並且短軸上的頂點具有任何點的最大麴率半徑

。

曲率半徑的概念及其應用非常廣泛，在透鏡成像、機械加工零件、公路和鐵路彎道設計施工中都有其重要地位。 ^[3] 

（1）對於差分幾何上的應用，請參閲Cesàro方程；

（2）對於地球的曲率半徑（由橢圓橢圓近似），請參見地球的曲率半徑；

（3）曲率半徑也用於梁的彎曲三部分方程中；

（4）曲率半徑（光學）。

（5）半導體結構中的應力：

涉及蒸發薄膜的半導體結構中的應力通常來自制造過程中的熱膨脹（熱應力）。發生熱應力是因為膜沉積通常在室温以上。在從沉積温度冷卻至室温時，基板和膜的熱膨脹係數的差異引起熱應力。

當原子沉積在基底上時，由薄膜中形成的微觀結構引起固有應力。由於原子穿過空隙有吸引力的相互作用，薄膜中的微孔產生拉伸應力。

薄膜半導體結構中的應力導致晶片的翹曲。應力結構的曲率半徑與結構中的應力張量有關，可以用修正的Stoney公式來描述。可以使用光學掃描儀測量包括曲率半徑的應力結構的形貌。現代掃描儀工具具有測量基板全貌和測量兩個主曲率半徑的能力，同時為90米及以上的曲率半徑提供0.1%的精度。 ^[2]