晶體的對稱性

每一次這樣的座標變換就是晶體的一個對稱操作(對稱元)。晶體對稱元的集合構成晶體對稱羣。描寫晶體對稱性的羣有點羣和空間羣。點羣是晶體中至少有一點保持不動的對稱元的集合。而空間羣則含平移和與平移分量組合的對稱元。晶系與點羣的關係點羣晶系名稱國際符號熊夫利符號對稱操作數三斜11C1C1(S2)12單斜2m2/mC2C1h(Cs)C2h224正交222mm2mmmD2(V)C2VD2h(Vh)448三角33323m3m( 3 2/m)C3C3i(S6)D3C3dD3d366612四方444/m4224mm42m4/mmmC4S4C4hD4C4dD2d(Vd)D4h44888816六角666/m6226mm6m26/mmmC6C3hC6hD6C6dD3hD6h661212121224立方23m343243mm3mTThOTdOh1224242448晶體的對稱操作　體對稱性的基礎是它的平移不變性，也就是空間週期性，以點陣或晶格來表徵。晶體還具有旋轉和反映的對稱性。有限圖形也具有這些對稱操作，它在晶體中存在，就應該同時滿足晶格週期性的限制。晶體中只能有n=1、2、3、4、6重旋轉對稱軸，不可能有5重、7重或更高的旋轉對稱軸，因為後面這些旋轉對稱軸與週期結構不相容。國際符號用n來表示旋轉角為2π/n的旋轉軸。熊夫利符號則用Cn(n=1、2、3、4、6)來表示。2重旋轉軸再加上法線與軸重合的反映面兩個對稱操作組合在一起等同於以原點為對稱中心的反演，即座標(x,y,z)變換為(–x,–y,–z)晶體結構不變，此組合對稱操作叫作反演。n重旋轉軸與反演組合成的對稱操作稱為n重旋轉反演軸，國際符號用n來表示。圖1中示意畫出這些對稱軸。圖1a為5種正當旋轉軸，圖1b為五種非正當旋轉軸。若n重旋轉軸又是反映面m的法線，則以n/m表示。由圖1可看到6重旋轉反演等價於3重旋轉軸加反映面m，即6=3/m。此外，旋轉軸和反映面還可與某個軸或面的非點陣平移組合成新的對稱操作，即螺旋軸和滑移反映面。螺旋軸用np表示，p=1,2,…,n−1,如41代表4重螺旋軸，再沿軸方向平移p/n=1/4倍點陣滑移週期。滑移反映面的符號有a、b、c、d，代表對某一平面反映後，再沿某軸滑移該方向的點陣平移週期的分數倍。顯然，平移、螺旋軸和滑移反映面都不會是點羣的對稱元，它們是空間羣特有的對稱元（見表）。點羣和晶系　1830年J.F.C.赫塞爾研究晶體的宏觀對稱操作的集合，即點羣究竟有多少個不同類型時，他導出了32個點羣，也就是32個晶類。這一成就為探索晶體物理性質的對稱性提供了基礎。1848年A.布拉維忽略了晶胞的具體內容，單純從點陣的平移週期性出發，導出只可能存在14種布拉維點陣。按照布拉維點陣晶胞的形狀，又可分為7個晶系，即三斜、單斜、正交、四方、菱形（或三角）、六角、立方晶系。實際菱形點陣可視為一類特殊的六角點陣，可不作為一個獨立晶系。下表列出7個晶系與32個點羣之間的關係，屬於同一點羣的晶體是一個晶類，故晶體有32個晶類。空間羣　晶體結構的微觀對稱操作的集合稱為空間羣。1890年E.C.費奧多羅夫和1891年A.M.熊夫利分別用不同方法獨自證明了晶體結構的微觀對稱操作組合方式只有230種，即230個空間羣。32個點羣與相容的點陣組合，導出73個空間羣，再將旋轉軸和反映面分別以螺旋軸和滑移反映面取代，又可導出157個空間羣，空間羣的國際符號由兩部分組成。前置大寫拉丁字母表示點陣類型：P、I、R、F分別代表初基、體心、菱形、面心點陣，面A、B、C分別代表側心在三種晶胞面的點陣。後一部分寫出3個對稱元，此對稱元也可能是螺旋軸和滑移反映面。如F43m是閃鋅礦結構的空間羣，Fm3m是面心立方結構的空間羣，Fd3m是金剛石結構的空間羣，其中d代表金剛石結構中某一滑移反映面。磁對稱羣　1946年A.V.舒布尼科夫引入黑白色作為對稱要素，可與磁晶體中正反磁矩對應。20世紀50年代中期，N.V.別洛夫等和B.陶格爾等進行了系統的理論推導，給出90個磁點羣和904個磁空間羣，足以闡明磁有序晶體結構的對稱性，也為這些晶體物理現象的系統描述提供基礎。實際上，舒布尼科夫的色羣包含更多內容，另有32個點羣和747個空間羣。因此，色點羣共有122個，而色空間羣總數是1 651個。高維空間對稱羣　1984年準晶體問世，它具有二十面體的對稱性，突破了傳統週期性結構晶體的概念。準晶體具有準週期性和非傳統晶體學的空間取向性。在6維空間有826個布拉維點陣，其中有三個6維超簡立方、6維超體心立方以及6維超面心立方點陣與3維二十面相的對稱性相容。這二十面體對稱點羣為532，有60個對稱操作；或點羣53m，有120個對稱操作（圖2）。 ^[1]