時域有限差分法

時域有限差分法(Finite difference time domainmethod， FDTD)直接離散時域波動方程，不需要任何形式的導出方程，故不會因為數學模型而限制其應用範圍。它的差分格式中包含有介質的參量，只須賦予各網格相應的參量，就能模擬各種複雜的結構，這是時域有限差分法的一個突出優點。另外，由於時域有限差分法採用步進法進行計算，故能很容易地實現各種複雜時域寬帶信號的模擬，而且可以非常方便地獲得空間某一點的時域信號波形 ^[1]  。

超聲檢測是無損檢測的一種重要方法，其檢測結果與超聲換能器的聲場特性密切相關。由於聲學的實際應用問題很少能有嚴密的理論解析解，因此，隨着計算機技術的日益進步，對聲場方程進行數值計算成為研究聲場特性的一種重要手段 ^[1]  。
　　目前，在超聲波聲場分析中應用較多的是Kirchhoff 積分公式以及由此得到的一系列近似公式，利用它們可以描述圓盤聲源在連續波激勵下聲場的各特性指標：軸向聲壓分佈、近場長度、擴散角和主旁瓣分佈等。彭應秋等採用積分法通過頻譜分析並進行多頻率計算結果的疊加，獲得了脈衝波激勵下聲場分佈的計算結果。積分法中最新的研究還有實軸積分法和二維譜技術。實際檢測過程中，大多用脈衝信號對換能器進行激勵，而且檢測信號多以時域信號形式存在，積分法進行相應分析比較困難，積分法中傳播介質的聲參數一般是不變的，而且主要應用於無限自由空間假設下的聲傳播問題，這就限制了其應用範圍。採用數值計算方法的聲場研究較少，何存富等]採用數值計算方法分析了空心圓柱體中周向超聲導波的傳播和頻散特性。杜三虎等應用條紋單元法(Strip element
　　method, SEM)對多層複合材料板中的脱粘缺陷進行了數值仿真研究。水浸法是超聲檢測中經常採用的一種檢測方式，而且其聲場特性可以推廣到其他介質中 ^[1]  。

由於計算機內存容量和計算速度的限制，FDTD 計算只能在有限區域進行，為了模擬超聲波在更大區域內的傳播過程，需要在區域的邊界處設置吸收邊界條件，起到吸收入射波的作用，儘量不產生反射波 ^[1]  。常用的吸收邊界條件有 MUR吸收邊界， 近幾年在電磁場及地震波模擬中應用較多的是完全匹配層(Perfect matched layer， PML)吸收邊界，主要是因為完全匹配層具有更好的吸收效果，理論上可以實現邊界的完全吸收。 PML 吸收邊界條件最初被BERENGER應用於麥克斯韋電磁場方程的數值模擬，後來被許多研究者擴展到聲波、彈性波等其他波場數值模擬過程中，且同樣取得了較好的效果。COLLINO 等把 PML 吸收邊界條件應用到了一階速度—應力彈性波方程中 ^[1]  。
　　通過在 FDTD 區域截斷邊界處設置一種特殊介質層，該層介質的波阻抗與相鄰介質的波阻抗完全匹配， 因而入射波將無反射地穿過分界面進入 PML層。而且， PML 層為有耗介質，進入 PML層 ^[1]  。

假設介質為水， c0=1 500 m/s， ρ0=1 g/mm3，計算參數選為： Δx = Δz = 50 μm， Δt = 10 ns。給計算區域中心處的 vx 值施加激勵信號，頻率為 1 MHz，共 5 個週期的正弦波。吸收層厚度為 10Δx，反射係數 R=0.001。經過 PML 吸收邊界處理前後的 t=10 μs 時刻聲壓 p 分佈情況。經過 PML 邊界吸收後，反射波受到了極大的抑制，但仍有極弱的反射波，這可以通過增加吸收層厚度、調整阻尼函數等措施來增強吸收效果。此外，有限差分數值計算過程中的頻散問題對 PML 吸收邊界條件的吸收效果也有影響，若採用交錯網格高階有限差分，也可提高PML 吸收邊界條件的吸收效果， 但相應的計算量也將大大增加 ^[1]  。

吸收圓盤聲源聲場特性分析：圓盤聲源的聲場特性具有軸對稱性，可以取其中軸平面的聲場分佈來分析其特性。對圓盤聲源的模擬是通過假定其發射面為一個面陣，激發波形為幅值和相位相同的正弦波 ^[1]  。

脈衝波激勵聚焦換能器聲場特性分析：應用 FDTD 方法，不僅可以方便地計算任意波形激勵的超聲波聲場，而且能夠分析聚焦聲場的特性。聚焦換能器脈衝波聲場中近場區域干涉疊加效應要明顯弱於平面聲源聲場，能量集中在聚焦區域內，這與實際聚焦換能器的聲場特性基本一致 ^[1]  。

因而，（1）時域有限差分法可用於超聲波聲場的特性分析中，算法易於實現，可獲得理想的計算結果。(2) 完全匹配層方法可以有效地滿足 FDTD 方法對吸收邊界處理的要求，但在實際分析計算中，必須選擇合適的 PML 邊界參數。(3) 計算結果和試驗數據説明，時域有限差分法可以很好地模擬脈衝波等波形激勵條件下聲場的分佈情況，提供了一種聲場分析的新方法 ^[1]  。

隨着計算機技術和信號處理技術的發展，室內聲場模擬技術逐漸成熟，採用基於幾何聲學虛聲源法、聲線跟蹤法及二者結合的混合法只適應於對室內聲場中高頻部分的模擬。對於室內聲場的低頻部分以及小室內空間，聲波的波動效應如聲波的衍射和干涉現象、房間模態或共振效應更顯著，需要採用波動聲學方法來模擬。常用的基於波動聲學的室內聲場模擬方法有：有限元法(FEM)、邊界元法(BEM)、時域有限差分法、數字波導網格法(DWM)等。有限元法是將一個連續的求解域任意分成適當形狀的許多微小單元，並於各小單元分片構造插值函數，然後根據極值原理(變分或加權餘量法)，將問題的控制方程轉化為所有單元上的有限元方程，把總體的極值作為各單元極值之和，即將局部單元總體合成， 形成嵌入了指定邊界條件的代數方程組，求解該方程組就得到各節點上待求的函數值。邊界元法是應用格林函數公式，通過選擇適當的權函數把空間求解域內的偏微分方程轉換成為其邊界上的積分方程。它把求解區中任一點的求解變量(如聲壓)與邊界條件聯繫了起來。通過離散化處理，由積分方程導出邊界節點上未知值的代數方程。解出邊界上的未知值後就可以利用邊界積分方程來獲得內部任一點的被求函數之值。時域有限差分法是將所需求解的聲波振動方程的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單。數字波導網格法以時間和空間離散為基礎，離散的點稱為節點，節點之間通過單位延遲長度的雙向數字波導相連，形成數字波導網格。根據節點處的聲壓等於該節點輸入聲壓和輸出聲壓之和、在連接點處總的輸入和總的輸出體積速度之和為 0以及連接點處阻抗連續等條件求出散射連接點處的聲壓。這些基於波動聲學的室內聲場模擬方法各有優缺點。有限元方法適合處理複雜區域，精度可選。缺點在於內存和計算量巨大。邊界元相對於有限元來説，在相同離散精度的條件下，邊界元解的精度要高於有限元。雖然邊界元法單元數、未知量個數少、方程組階次低，但方程組的係數矩陣不對稱併為滿陣，有時是近似的奇異陣，求解這類方程組的方法受到限制。時域有限差分法直觀，理論成熟，精度可選，易於編程，易於並行，但存在色散誤差以及不規則區域處理繁瑣 ^[2]  。
　　近年發展起來的網格生成可以使 FDTD 法適用於不規則區域。數字波導網格法主要用於樂器的物理模擬]，近年也應用於室內聲學模擬，它的優點是理論簡單、直觀，易於編程計算，缺點與時域有限差分法相似，存在色散誤差以及不規則區域處理繁瑣。數字波導網格法是特定條件下的時域有限差分法，即在此條件下，二者等價。對於室內聲場模擬，數字波導網格法和時域有限差分法可將室內聲場傳播過程直觀地再現出來，直接得到確定廳堂聲學中聲音質量的房間脈衝響應 ^[2]  。

近年來許多學者採用該方法研究擴散體對室內聲場的擴散效果、混響室的最佳聲場模擬以及室內聲場中聲傳播、反射、擴散、散射以及衍射等現象的可視化、多通路聲場模擬可聽化等 ^[2]  。
　　(1) 室內聲場中低頻段房間脈衝響應的模擬計算。 Botteldooren 應用時域有限差分法計算一廳堂的中低頻段的房間脈衝響應，對大的中心區域採用 Cartesian 網格的 FDTD 公式計算， 而在邊界個別區域採用 Voronol 單元的 FDTD 公式計算，同時對邊界條件、色散誤差和穩定性進行了探討，結果表明，時域有限差分法在低頻及中頻段是室內聲場模擬的有力工具。 Yokota, Sakamoto 和 Tachibana 採用時域有限差分法計算比較了矩形、扇形、橢圓形等房間有無擴散處理時的房間脈衝響應，結果表明，經擴散處理後的房間脈衝響應變得更密而平滑，主觀聽音結果更自然 ^[2]  。
　　(2) 室內聲場中一些比較特殊的現象的模擬計算分析，如坐席低谷效應，擴散體的聲擴散效果等。 Lovetri、 Mardare、 Soulodre 採用時域有限差分法對座椅吸聲低谷現象進行模擬，他們採用 5cm網格對一長寬高分別為 24.5m、3.5m和 4.25m的房間進行劃分，得到 2915500 個網格單元。模擬結果表明，在同一水平面上，隨着場點與聲源間座椅排數的增加，座椅吸聲的低谷效應更加明顯；在同一座椅位置，隨着接收點與地面距離的增加，座椅吸聲低谷效應逐漸減弱。而且，他們還採用時域有限差分法模擬了聲源高度及掠射角度對座椅吸聲低谷效應的影響。另有研究者採用時域有限差分法對不同的混響室形狀、分佈不同的擴散體對混響室聲場分佈的影響進行分析比較，得到了一些有意義的結果 ^[2]  。
　　(3) 室內聲場中聲傳播、反射、擴散、散射以及衍射等現象的可視化研究。由於時域有限差分法是在時域直接進行計算，使各種聲學現象，如聲傳播、反射、擴散、散射以及衍射等的可視化成為可能。日本的研究者在這方面做了很多工作，分析了不同房間形狀、有無擴散處理、在房間上空架設浮雲板等聲場分佈的變化；同時他們還探討了各種類型的聲屏障對聲波傳播、反射及衍射等的影響 ^[2]  。
　　(4) 多通路聲場模擬以及對揚聲器輻射聲場的數值計算。 Tokita 等採用時域有限差分法探討了一種二維多通路聲重放系統，他們採用時域有限差分法計算接受點位置前後左右四個方向的房間脈衝響應，然後在消聲室以聽音者為圓心、半徑為2m 的圓周上佈置前後左右四個揚聲器，重放先前計算的房間脈衝響應，以實現室內聲場模擬的可聽化，為心理聲學實驗提供了有力的工具 ^[2]  。
　　從上面可以看到，時域有限差分法在中低頻室內聲學問題的分析過程中，為室內聲場數值計算提供了一個有用的工具和方法。它可以成功地模擬室內聲學的各個方面，並可很方便地實現聲場可視化 ^[2]  。