方程根式解

方程的根式求解 ^[1]  （solvability of equation by radicals）源於一個著名的古典數學問題。域 F 上次數大於 1 的多項式 f(x)，若多項式方程 f(x)=0 的每個根都可以由 f(x) 的係數經過有限步的加、減、乘、除及開方運算得出，則稱多項式方程 f(x)=0 有根式解。換言之，f(x) 的分裂域含於 F 上一個根式擴域。19世紀20年代，挪威數學家阿貝爾首先證明次數大於 4 的多項式方程沒有通用的根式解。

這裏，需要強調的是：“方程沒有根式解”指的不是“方程無解”，而是方程不能在加、減、乘、除、開方這五種運算的範圍內加以求解。如果藉助超越函數，我們還是有辦法求解出一些沒有根式解的方程。事實上，根據代數基本定理的推論，n 次復係數多項式方程必有 n 個複數解。根據實係數多項式函數的連續性與值域，可知奇數次實係數多項式至少有一個零點。