數理哲學導論

該書除序言外，由18章組成。在前半部分中，由自然數進入集合論，為數學奠定邏輯主義的基礎（從基本的邏輯概念和法則引出數學的概念和公理）進行了預備性考察。其次，圍繞無限集合的悖論和類型（邏輯型）理論，涉及它的解決和向邏輯過渡。在後半部分中，以演繹、命題函數、記述這三點説明了奠定邏輯主義基礎所必要的工具（邏輯）。同時，在傳統的形而上學方面，批判了那種因無視命題函數而論及存在（特別是空想的對象）、形態時的混亂。 ^[2] 

1918年，羅素因反對第一次世界大戰而被判六個月監禁，在監獄中他創作完成了《數理哲學導論》，該書也是羅素數學基礎和數理邏輯方面研究成果的通俗化。 ^{[2]  [4]} 

該書的總論題是，人們可以從熟悉的數學成分諸如“2加2等於4”這樣的陳述開始，或者“向上”進入高等數學，導向對分數，實數，複數，無窮數，積分，和微分的思考，或者“向下”進入低等數學，通過分析導向更抽象和邏輯上更簡單的概念。一項研究之所以被稱為“數學哲學”是根據這樣一個事實，即雖然這類探討中的許多概念——數，類，關係，序，連續，無窮，歷來就是哲學家探討的，但在羅素看來並未取得多少成功，只有當思辨哲學家的方法被數學家和邏輯學家更精確和更嚴密的方法所代替的時候，才能獲得有趣的結果。羅素為了強調他的觀點而反覆論證，這些新概念判定傳統的哲學問題是不可解決的，或者是無意義的。羅素指出，數學可以看作是一定的基本概念的邏輯推導，數學可以歸約為邏輯。 ^[6] 

羅素指出，具有相同的數（即，展示一種性質，以這種性質來定義數）是如何可能的。這可以通過表明兩個類是相似的來證明，所謂“相似”是指它們彼此有一對一的關係。例如，如果在世界上沒有一個地方實行多大制或多妻制，那麼“配偶”關係構成了一種關係，根據這種關係可以説已婚男人這一個類與已婚女人一類是相似的。使用這個標準，就不要求人們能夠計數每一類，而且人們可以知道已婚男人的數目與已婚女人的數目是相同的，而不必知道各自的數目是多少。因此，相似概念在邏輯上是比計數概念更簡單的，雖然不一定是更熟悉的。如果把所有的對子放在一起，把所有的三個一組放在一起，把所有的四個一組放在一起，然後擴大到把所有隻有一個分子的類（單一類），和所有沒有分子的類（空類）分別放在一起，那麼，可以繼續説，“2”是指所有的對子共同的性質，“3”是所有的三個一組的性質，等等。然而，羅素並沒有選擇這樣做，因為他怕如果人們認為事實上有稱為“2”的性質，人們就會無意中製造一種形而上學的實體，而它的存在是會引起爭論的。關於對子的類人們是有把握的，但關於形而上學的2卻沒有把握。因此，羅素只是把數學“2”定義為所有對子的類，而不定義為所有對於具有的性質。更一般地説，一個類的數是所有與之相似的類的類（其分子可以置於一對一的關係的類是相似的類）。 ^[6] 

羅素考察的另一個概念是“關係”，他認為，有許多不同種類的關係，每一種關係有自己的性質和用途。例如，有些關係是對稱的（symmetrical）。如果當aRb，那麼bRa時，a和b之間的關係R就是對稱的。例如，“配偶”關係是對稱的而“父親”關係是非對稱的。有些關係是傳遞的（transitive）。如果當aRb並且bRc，那麼aRc時，關係R就是傳遞的。例如，“先於”關係是傳遞的，而“父親”關係是非傳遞的。有些關係是連通的（connected）。如果從一個類中取任何兩項，如a和c，那麼或者aRc或者cRa的話，那麼這一類中的對象a，b，c，小之間的關係是連通的。這樣，如果取任何兩個整數，一個較小另一個較大，但這對於複數卻不是真的；如果取時間中任何二瞬間，必是一個早於另一個；但是對於二事件則不然，因為它們可能同時發生。在對“關係”這種討論的基礎上，羅素表明人們如何能夠定義“序”（order）。在—種意義上“序”意指“排列”，因此，一切序都象排列那樣是任意的。但是當人們説是在排列自然數時，人們實際上是尋求它們之間的某種關係，這種關係本身產生一定的排列。因此，次序是當人們發現一個類的分子之間有一種關係並且這種關係具有一定的特點時，對這個類所進行的一種運算。羅素指出，一事物與另一事物有一種關係，另一事物與它有相同的關係，那麼這種關係是對稱的；一事物與第二個事物有一種關係，而第二個事物與第三個事物有相同的關係，那麼第一個事物與第三個事物也有同樣的關係，這種關係是傳遞的，而其他關係是被規定的。 ^[6] 

羅索指出，他先前稱為“自然”數的也可以稱為“歸納”數，這個用法僅僅表明人們是在以皮亞諾第五公理而不是其他東西來命名這種數。數學歸納原則可以粗略地這樣來表述，從一個可以推論出次一個的東西，可以從第一個推論出最後一個。一無窮基數滿足等式，N＝N＋1（一無窮集合所具有的部分，具有與無窮集合本身同樣多的項）。 ^[6] 

在結尾部分，羅素轉向關於數學哲學及其與邏輯和經驗知識的關係的一般問題。數學，以前定義為量的科學，不能再這樣定義了。許多幾何學的分支不處理量的問題，甚至算術，通常認為是研究數的，也致力於更基本的一對一的關係和類之間的相似關係概念。關於序的概念的概括，也説明數學不再專門關注數列了。羅素指出，通過區分實體的類型便可能避免曾困擾哲學家好幾個世紀的悖倫。數學真理是先驗的並與世界的事實無涉，它們是邏輯的重言式。 ^[6] 

在《數理哲學導論》中，羅素把數理邏輯的方法引入語言分析，減少實體的數量，提出摹狀詞理論，揭示句子的真實邏輯性質。對分析哲學運動的發展起了一定的推動作用。該書後來也成為從事數理邏輯研究的入門著作。 ^[4-5] 

該書於1919年首次出版，中譯本由晏成書翻譯，商務印書館1982年出版。 ^[1] 

伯特蘭·羅素（1872—1970），英國數學家、邏輯學家、哲學家。1908年成為英國皇家學會會員，1950年獲得諾貝爾文學獎。1897年出版《數學的原則》。之後又與數學家、哲學家懷特海合寫了三卷本的《數學原理》，於1913年出齊。羅素在哲學上是唯心主義者，著有《西方哲學史》《哲學大綱》等著作，他還是和平主義者，主張資產階級人道主義。 ^[4]