數學物理方程（第2版）

本書是編者在南京航空航天大學數學系講授“數學物理方程”課程的講義基礎上修改而成。《21世紀高等學校教材：數學物理方程（第2版）》力圖體現教改精神，重視基本理論、基本方法，重視理論聯繫實際，講解深入淺出。全書共分7章，詳盡討論了三類典型方程的推導、解法和適定性，並附有一定的習題供讀者練習之用。本書可作為數學類各專業本科生和理工科有關專業研究生的教材，教學時數為60～70學時，也可供廣大高校有關教師和科技工作者選作為參考書。 ^[1] 

1 數學物理中的典型方程和定解問題

1.1 典型方程的推導

1.1.1 弦振動方程和定解條件

1.1.2 熱傳導方程和定解條件

1.1.3 位勢方程和定解條件

1.1.4 流體力學基本方程組

1.2 偏微分方程的基本概念

1.3 2 階線性偏微分方程的化簡與分類

1.3.1 兩個自變量2階線性偏微分方程的化簡

1.3.2 兩個自變量2階線性偏微分方程的分類

1.3.3 多個自變量2階線性偏微分方程的分類

1.4 定解問題的適定性

習題1

2 分離變量法

2.1 齊次邊界條件有界弦自由振動方程的混合問題的分離變量法

2.1.1 微分方程定解問題、分離變量法的基本思想

2.1.2 求微分方程的特解

2.1.3 定解問題的形式解

2.1.4 綜合過程、解的存在性

2.1.5 舉例

2.1.6 解的物理意義

2.2 齊次邊界條件有界弦強迫振動方程的混合問題的分離變量法

2.3 非齊次邊界條件的定解問題

2.4 解熱傳導方程的混合問題的分離變量法

2.4.1 齊次方程、齊次邊界條件

2.4.2 非齊次方程、齊次邊界條件

2.4.3 一般的第一初邊值問題

2.4.4 具第三類邊值條件的熱傳導方程混合問題分離變量法求解的例子

2.5 圓柱體定常温度分佈的Dirichlet問題

習題2

3 積分變換法

3.1 Fourier變換的理論基礎、基本性質

3.2 Fourier變換的應用

3.2.1 熱傳導方程初值問題的解法

3.2.2 半無界問題

3.2.3 三維熱傳導方程初值問題

3.2.4 弦振動方程的Fourier變換解法

3.3 Laplace變換的引入、基本性質

習題3

4 波動方程

4.1 齊次弦振動方程的初值問題、D’Alembert公式、廣義解

4.2 D’Alembert公式的物理意義、傳播波、依賴區域、影響區域、決定區域

4.2.1 D’Alembert公式的物理意義、傳播波

4.2.2 影響區域、依賴區域和決定區域

4.3 延拓法求解半無窮長弦振動方程初邊值問題

4.4 三維波動方程的球面平均法、Poisson公式

4.5 三維非齊次波動方程初值問題、推遲勢

4.6 二維波動方程初值問題的降維法

4.7 依賴區域、決定區域、影響區域、特徵錐

4.8 Poisson公式的物理意義、Huygens原理

4.9 能量不等式、波動方程初值問題解的唯一性和連續依賴性

習題4

5 橢圓型方程

5.1 橢圓型方程邊值問題的提法

5.2 Green公式

5.3 調和函數的基本積分表達式和一些基本性質

5.4 Laplace方程第一邊值問題解的唯一性及穩定性

5.5 Green函數、Dirichlet問題的解

5.5.1 Green函數的引出

5.5.2 Green函數的基本性質

5.5.3 特殊區域的Green函數、靜電源像法

5.5.3.1 球域的Greetl函數及Dirichlet問題的解

5.5.3.2 半空間的Green函數及Dirichlet問題的解

5.5.3.3 二維問題

5.6 調和函數的進一步性質——Poisson公式的應用

習題5

6 拋物型方程

6.1 熱傳導方程混合問題的適定性

6.2 熱傳導方程Cauchy問題的適定性

習題6

7 基本解與解的積分表達式

7.1 廣義函數及其性質

7.1.1 廣義函數與δ函數的引出

7.1.2 廣義函數與δ函數的一些基本性質

7.1.3 廣義函數的導數

7.2 基本解、解的積分表達式

7.2.1 Lu=0型方程的基本解

7.2.2 □=Lu型方程Cauchy問題的基本解、解的積分表達式

7.2.3 □=Lu型方程Cauchy問題的基本解、解的積分表達式

習題7

附錄 Fourier變換表和Laplace變換表

Fourier變換表

Laplace變換表