數值穩定性

(1) (2) 若 b＞0，且 b 2＞＞4| αс|，則由於 b和 很接近，用公式(1)計算 x 1就會使有效數字嚴重損失。但這時可先用公式(2)計算 x 2，然後根據關係 x 1 x 2=с/ α計算 x 1，會得到比較好的結果。在用消去法解線性代數方程組時，選主元的算法比不選主元的算法的 數值 穩定性好。 　　

算法的數值穩定性的判別是和(舍入)誤差分析密切相關聯的。早在1947年J.馮·諾伊曼和戈爾茨坦關於高斯消去法舍入誤差分析的文章中就隱含着數值穩定性的概念，而首先明確提出這個概念的是J.W.吉文斯。J.H.威爾金森系統地發展了吉文斯提出的向後誤差分析的思想，對代數求解過程的舍入誤差作了深入細緻的分析，計算結果的精度不但依賴於所用的算法，而且也和問題是良態或病態有關。一個計算問題，如果其中的參數(如線性代數方程組的係數，自由項)的微小擾動只對解的精度產生不大的影響，便説這個計算問題是良態的，否則便稱為病態的。吉文斯的數值穩定性概念就考慮到問題是良態或病態這個因素。一個算法計算得到的近似解可以看作原計算問題中的參數經適當擾動後的準確解，若擾動是微小的，就説這個算法是數值穩定的，否則就説算法是不穩定的。 ^[1]