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排隊過程

排隊過程是描述按一定規律等待服務和正在被服等的需求個數的隨機過程。考慮“顧客”在隨機時刻到達一服務系統，要求提供某種服務。如果顧客到達時有空餘的“服務員”，則他可以馬上得到所要的服務，否則他必須等待一段隨機時間。每個顧客佔用的服務時間也是隨機變量。於是顧客在隨機時刻到達，又在隨機時刻離去。以X_t，t≥0表示時刻t時正在被服務和等待服務的顧客個數(隊長)，則{X_t，t≥0}是一個連續時間非負整值隨機過程，稱為“排隊過程”，通常它是連續時間馬爾可夫鏈；排隊過程的性質取決於如下主要因素：1、服務規則：先來先服務或其他帶某種優先規定的規則等。2、服務人個數：單服務員、多服務員，或者服務員相當多時可認為有無限多個服務員。3．顧客到達時間間隔的統計性質：例如是否相互獨立，是否同分布；同服從哪種分佈等(通常假定到達時間間隔獨立同分布)。4．顧客佔用服務時間的統計性質(也可討論與上述到達時間間隔相類似的問題)。排隊過程在系統科學，經營管理等領域有重要的應用^[1] 。

中文名: 排隊過程
外文名: queueing process

所屬學科: 數學
所屬問題: 運籌學（隨機過程）
相關概念: 排隊模型、隨機過程等

排隊過程排隊系統的組成和特徵

一般的排隊系統都有三個基本組成部分：（1）輸人過程；（2）排隊規則；（3）服務機構。

下面分別説明各部分的特徵^[2] 。

排隊過程輸人過程

輸人即指顧客到達排隊系統，可能有下列各種不同情況，當然這些情況並不是彼此排斥的。

(1) 顧客總體(稱為顧客源)的組成可能是有限的，也可能是無限的。猶如上游河水流人水庫，可以認為總體是無限的，工廠內停機待修的機器顯然是有限的總體。

(2) 顧客到來的方式可能是一個一個的，也可能是成批的。例如，到餐廳就餐就有單個到來的顧客和受邀請來參加宴會的成批顧客。

(3) 顧客相繼到達的間隔時間可以是確定型的，也可以是隨機型的。例如，在自動裝配線上裝配的各部件就必須按確定的時間間隔到達裝配點，定期運行的班車、班輪、班級的到達也都是確定型的。但一般到商店購物的顧客、到醫院診病的病人、通過路口的車輛等，他們(或它們)的到達都是隨機型的。對於隨機型的情形,要知道單位時間內的顧客到達數或相繼到達的間隔時間的概率分佈。

(4) 顧客的到達可以是相互獨立的，也就是説，以前的到達情況對以後顧客的到來沒有影響，否則就是有關聯的。例如，工廠內的機器在一個短的時間區間內出現停機(顧客到達)的概率就受已經待修或被修理的機器數目的影響。

(5) 輸人過程可以是平穩的，或是對時間齊次的，是指描述相繼到達的時間間隔分佈和所含參數(如期望值，方差等)都是與時間無關的，否則成為非平穩的。非平穩情形的數學處理很困難。

排隊過程排隊規則

(1) 顧客到達時，如所有服務枱都正被佔用，在這種情形下顧客可以隨即離去，也可以排隊等候。隨即離去的稱為即時制或稱損失制，因為這將失掉許多顧客；排隊等候的稱為等待制。普通市內電話的呼喚屬於前者，而登記市外長途電話的呼喚屬於後者。對於等待制，為顧客進行服務的次序可以採用下列各種規則：先到先服務、後到先服務、隨機服務、有優先權的服務等。

先到先服務，即按到達次序接受服務，這是最通常的情形。

後到先服務，如乘用電梯的顧客常是後人先出的。倉庫中存放的厚鋼板也是如此。在情報系統中，最後到達的信息往往是最有價值的，因而常採用後到先服務(指被採用)的規則。

隨機服務，指服務員從等待的顧客中隨機選取其一進行服務，而不管到達的先後，如電話交換台接通呼喚的電話就是如此。

有優先權的服務，如醫院對於病情嚴重的患者將給予優先治療。

(2) 從佔有的空間來看，隊列可以排在具體的處所(如售票處、候診室等)，也可以是抽象的(如向電話交換台要求通話的呼喚)。由於空間的限制或其他原因，有的系統要規定容量(即允許進人排隊系統的顧客數)的最大限制；有的沒有這種限制(即認為容量可以是無限的)。

(3) 從隊列的數目看，可以是單列，也可以是多列。在多列的情形，各列間的顧客有的可以互相轉移，有的不能(如用繩子或欄杆隔開)。有的排隊顧客因等候時間過長而中途退出，有的不能退出(如高速公路上的汽車流)，必須堅持到被服務為止。

排隊過程服務機構

從機構形式和工作情況來看有以下五種情況。

(1) 服務機構可以沒有服務員，也可以有一個或多個服務員(服務枱、通道、窗口等)。例如，在敞架售書的書店，顧客選書時就沒有服務員，但交款時可能有多個服務員。

(2) 在有多個服務枱的情形中，它們可以是平行排列(並列)的，可以是前後排列(串列)的，也可以是混合的。

(3) 服務方式可以對單個顧客進行，也可以對成批顧客進行，公共汽車對在站台等候的顧客就屬於成批進行服務。

(4) 和輸人過程一樣，服務時間也分確定型的和隨機型的。自動沖洗汽車的裝置對每輛汽車沖洗(服務)的時間就是確定型，但大多數情形的服務時間是隨機型的。對於隨機型的服務時間，需要知道概率分佈。

如果輸人過程，即相繼到達的間隔時間，和服務時間都是確定型，那麼問題就太簡單了，因此，在排隊論中所討論的是二者至少有一個是隨機型的情形^[2] 。

排隊過程排隊模型的概述

排隊過程排隊系統的主要數量指標

研究排隊系統的主要目的是通過了解系統運行的狀況，對系統進行調整和控制，使系統處於最優運行狀態。因此，首先需要弄清系統的運行狀況。描述一個排隊系統運行狀況的主要數量指標有：

隊長和隊列長(排隊長)。隊長是指系統中的顧客數(排隊等待的顧客與正在接受服務的顧客數之和)；隊列長是指系統中正在排隊等待服務的顧客數。隊長和隊列長般都是隨機變量。隊長的分佈是顧客和服務員都關心的；特別是對系統設計人員來説，如果能知道隊長的分佈，就能確定隊長超過某個數的概率，從而確定合理的等待空間。

等待時間和逗留時間。從顧客到達時刻起到開始接受服務止的這段時間稱為等待時間。等待時間是個隨機變量，也是顧客最關心的指標，因為顧客通常是希望等待時間越短越好。從顧客到達時刻起到他接受服務止的這段時間稱為逗留時間，也是隨機變量，顧客同樣非常關心。

忙期和閒期。忙期是指從顧客到達空閒着的服務機構起，到服務機構再次成為空閒止的這段時間，即服務機構連續忙的時間。這是個隨機變量，是服務員最為關心的指標，因為它關係到服務員的服務強度。與忙期相對的是閒期，即服務機構連續保持空閒的時間。在排隊系統中，忙期和閒期是交替出現的。

除了上述幾個基本數量指標外，還會用到其他一些重要指標。例如，在損失制或系統容量有限的情況下，由於顧客被拒絕，而使服務系統受到損失的顧客損失率及服務強度等，也都是十分重要的指標^[2] 。