振幅函數

振幅函數是關於任意多重指標的偏導數滿足某種類型不等式的函數。

設X是Rⁿ中開子集，0≤ρ，δ≤1，m為任意實數。若函數a(x,θ)∈C^∞(X×R^N)滿足如下條件：對任意多重指標α，β及X中的緊集K，存在常數C_α,β,K，使當x∈K，θ∈R^N時有

則稱a(x,θ)是m次(ρ,δ)型振幅，記為

。

振幅函數類首先由赫爾曼德爾(Hormander,L.V.)引進。從歷史上看，最古典的振幅函數類是其中函數a(x,θ)∈C^∞(X×R^N)關於θ為m次齊次函數（它顯然屬於

。）而赫爾曼德爾所引入的上述

，其主要特色在於用微分不等式代替了齊次性。

類是較為典型的振幅函數類。而在處理具體問題時，將出現一些新的特殊的振幅函數類，並且還要對它們建立一套與相應的算子相配合的運算規則以及相應的振盪積分理論等。

取X中的上升緊集序列{K_j}使

。對於

，記使微分不等式

成立的最小常數

為ρ_α,β,j[a]。

易知它們構成一個可分離的可列半模族，且用它裝備函數類

後使得

成為一個弗雷歇空間。

一般地，振幅函數常取漸近展開的形式：

具體地，設{m_j}(j=0,1,2,...)是一個單調下降趨於-∞的實數列。又設

，若對任意非負整數l有

則稱

是a(x,θ)的漸近展開。 ^[1]