指標理論

指標理論是疇數理論在T(G)不變泛函情形的變種形式。

設G是緊拓撲羣，X是T(G)空間，∑={A⊂X|A是T(G)不變閉集}。若函數i:∑→Z₊∪{+∞}滿足下述條件：

1、平凡性。i(A)=0⇔A=∅。

2、單調性。A,B∈∑，A⊂B⇒i(A)≤i(B)。

3、次可加性。∀A,B∈∑，i(A∪B)≤i(A)+i(B)。

4、超變性。若A∈∑，h=η(∙,1)，η:[0,1]×X→X是T(G)等變形變，則

。

5、連續性。若A∈∑，A緊，則存在A的某個閉鄰域N∈∑，使得i(N)=i(A)，則稱i為X上的一個T(G)指標。

若指標i還具有性質：

6、規範性。∀p∈X。若[p]∩Fix_G=∅，則i([p])=1，其中[p]={T_gp|g∈G}，Fix_G={x∈X|T_gx=x,∀g∈G}，則稱指標i是規範的。

若存在正整數d，使對X的dk維T(G)不變子空間V^dk(k=1,2,...)，只要V^dk∩Fix_G={0}，就有i(V^dk∩S₁)=k，其中S₁為X中的單位球面，則稱指標i具有d維數性質。

類似於疇數理論，有下述指標意義下的重數定理：設M是X中的不變閉子流形，f∈C¹(M,R)滿足(P.S)條件，i是X上的T(G)指標，記∑n(M)={A∈∑|A⊂M,i(A)≥n}。令

若對某正整數n與p，有

則c是f的臨界值，且i(K_c)≥p。這時如果i是規範的，且K_c∩Fix_G=∅，則K_c中至少含有p條不同點的臨界點軌道。

最常用到的指標是G=Z₂與G=S¹時的情形。作為指標概念的推廣或變種，尚有偽指標、相對指標等多種概念。 ^[1]