拉格朗日元法

非線性問題可分為材料非線性問題和幾何非線性問題：一般的有限元法可以用來解決材料非線性問題，但仍囿於小變形的假設，即勿略了因變形造成幾何尺寸的改變所導致應力的微小變化，且略去應變的二次冪，對於幾何大變形問題，雖然原則上可以將荷載分成若干級，在每一級荷載施加後算出結構的應力、應變和新的位置。以此為基礎再計算出結構中各個單元的剛度矩陣，組成總剛度矩陣後再加下一級荷載依次求解。可見，其計算工作量是相當繁複的。

岩土介質是一種為眾多節理裂縫等弱面所切割的地質體。岩土力學的問題往往牽涉到非線性大變形的問題。例如，地下巷道中的底問題，底賺使巷道的斷面縮小，影響走車和通風，需要經常拉底，有時累計拉底的岩石體積可以充滿整個巷道而有餘。象這樣的問題現在通用的有限元法和邊界元法都無能為力，只能求助於拉格朗日元法。拉格朗日元法正是這樣一種分析非線性大變形問題的數值方法，這種方法依然遵循連續介質的假設，利用差分格式，按時步積分求解，隨着構形的變化不斷更新座標，允許介質有大的變形。

拉格朗日元法的名字淵源於流體力學中跟蹤質團運動的一種方法，實際上是連續介質力學中對運動的物質描述方法，在非線性連續體力學中叫拖帶座標系或嵌含座標系方法。 ^[1] 

拉格朗日元法用差分方法求解，因此首先要分成網格，物理網格（圖1）影射在數學網格（圖2）上，這樣數學網格上的某個編號為

，

的結點就與物理網格上相應結點的座標

，

相對應。也可以將數學網格想像為一張橡皮做的網，拉扯以後可以變為物理網格的形狀。

分成的網格只要有序也可以具有不規則的形狀，圖3所示為在斷層一側的巷道周圍網格劃分的示例。網格基本上是四邊形的，但在邊界等不規則的地方也可以用三角形網格來擬合。

先舉一個一維杆的例子。假定杆為彈性，側面不受限制，兩端受拉，杆的密度為

，彈性模量為

，其本構關係為

，杆的運動平衡方程為

。

一維問題的網格劃分如圖4所示，結點順序編號，結點之間區域（或可稱網格、單元)的編號從其左側的結點開始編號。我們約定，凡張量（例如應力）和純量（例如密度)定義在網格中，凡矢量（例如速度)定義在結點上。

差分方程就其求解的數值方法而言可以分為兩大類：一類是隱式方法，另一類是顯式方法。隱式方法要解一個線性聯立方程組，所有的未知數一次求解，隱式方法需要存儲一個大的矩陣，對於非線性問題還要多次分段線性化後用增量法求解。顯式法則不用解方程組，因為等式右邊的值均為已知，可將右邊的表達式求值後賦值給左邊的未知數就可以了，這個過程也就是同時更新所有的變量。某一時步時的所有“老”的變量為其後一時步的“新”的變量所代替，而時間則又前進了一步。所以，顯式法可以隨着時間的推移跟蹤運動的發展。顯式法的缺點是時步的大小要選擇恰當，過大了會使解不穩定，過小則迭代次數太多，需要的機時長。拉格朗日元法系採用顯式解法。

時步選擇的原則是要使計算的速度大於縱波傳播的速度，也就是從物理上講，在一個時步之內，“信息”不能由一個單元傳到另一個單元。 ^[1]