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拆分數估計
鎖定
整數的拆分問題，即將正整數n分解為若干個正整數的和。不考慮起求和的順序。正整數的一種拆分可以理解為將n個無區別的球，放入n個無區別的盒子，其每種方案就是一種拆分。一般來説現在整數的拆分問題求解的常用工具是母函數和Ferrers圖像。整數拆分在組合數學、羣論、概率論、數理統計學等方面都有重要應用，但當n比較大時，計算機複雜度高，所以這裏給出一種關於拆分數估計的定理與證明，便於拆分數的推廣與應用。
- 中文名
- 拆分數估計
- 外文名
- Integer splitting estimation
- 適用領域
- 組合論，圖論
- 應用學科
- 數學
拆分數估計拆分數估計定理
正整數n拆分成若干個正整數之和，其不同的拆分數用p(n)表示，{p(n)}的母函數為：
則拆分數估計可以表示為：
拆分數估計證明
令
根據馬克羅林級數：
而
又由於
所以有下式成立：
因此有
所以
但是
所以
所以
對於
，令其一階導
，方程的解為
又因為y的二階導
,所以y的極小值為
所以
拆分數估計應用
1.一般情況下，p(n)的遞推關係比較複雜，但很多情況我們往往不需要知道確切的拆分數，我們可以用拆分數估計定理來估計拆分數的上界；p(n)的漸進公式也是很多學者研究的課題。
2. 圖論，組合論等領域中有廣泛應用。
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