投影變形

各種投影后經緯線形式插圖或打開世界地圖，經投影后經緯網的形狀和地球儀上的大不相同，進一步比較會發現有的圖在長度、面積、角度等方面發生了變形，也即產生了誤差。如果我們對球面上經緯線網格的形狀有明確的認識，就可以看出地圖網格變形的大致情況，同時也就可以看出地理內容變形的大致情況。

設地球球面上有一微小線段ds，投影到平面上為ds’。 ^[1] 

平面上微小線段與球面上相應微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為：μ=ds’/ds。

長度比是一個變量，它不僅隨着點的位置不同而變化，還隨着方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。

通常研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而只研究一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b）,經線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影后經緯線成直交者，經緯線長度比就是最大和最小長度比。投影后經緯線不直交，其夾角為θ,則經緯線長度比 m、n和最大、最小長度比a、b之間具有如下關係：根據解析幾何中阿波隆尼亞定理：m+n=a+b，m·n·sinθ=a·b，

用長度比可以説明長度變形。所謂長度變形就是長度比（μ）與1之差，用表v示長度變形則：v=μ-1。

由此可知，長度變形有正負之分，長度變形為正，表示投影后長度增加；長度變形為負表示投影后長度縮短；長度變形為零，則長度無變形。

通過修正中央子午線位置，確定抵償面高程的調整座標系法作為一種傳統的方法常被用於工程勘測放線中。允差分析法的提出提供了一種理論嚴密易懂、計算簡易快捷，小於規範限差、工作量最小的削弱線路工程實地放線投影變形的新途徑。（梁海文等通過誤差分析分別控制投影變形計算公式的兩個分項的變形，提出了放線距離調整的“允差分析法”及其調距公式△d=H/6.37-C（以mm/km計）。即根據道路里程範圍內各變形檢查點因高斯投影產生的變形值，分析出滿足限差要求的常數C，在全里程範圍內採用；再讀取每公里+500處的設計高H，計算因高程歸化而產生的變形；並在此基礎上提出了控制樁加密的距離調整方法。該成果刊登在核心期刊《測繪通報》2015年第二期上。）

平常地圖上註記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運用地圖投影方法繪製經緯線網時，首先把地球橢球體按規定比例尺縮小如，制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而後將其投影到平面上，那麼1：100萬就是地圖的主比例尺。由於投影時有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大於或小於主比例尺的叫局部比例尺。

注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區別。

由於投影要產生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后不一定正交，例如設o是球面上兩條互相垂直的微小線段，過o作兩條垂線ac和 bd，投影后a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc為直角投影后分別為鋭角a’o’b’和鈍角b’o’c’。

設想ac、bd二垂線相對位置保持不便，並繞o點順時針旋轉，當旋轉90度時，直角aob轉到原來boc的位置，這時投影由原來的鋭角轉變成鈍角；同樣的，直角boc轉到了cob的位置它的投影由原來的鈍角變為鋭角。由此可見，一個直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由鋭角變為鈍角，或者相反。那麼在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。

在主方向上，具有極大和極小長度比。例如我們講過的高斯-克呂格投影，經緯線投影后均保持垂直。所以該投影中，經緯線方向就是主方向。經緯線投影后位正交，經緯線方向均為主方向。但也有一些投影經緯網斜交，主方向與經緯線方向並不一致。

在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點位置外，一般情況下為橢圓（投影演示），下面我們用數學方法驗證一下。

設o為球面上一點，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)圓上一點，圓心曲線方程為：

x²+y²=1

o’為o的投影，以主方向作為座標軸，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向長度比為a和b，則：

x’/x= a, y’/y= b，則：x =x’/a, y =y’/b，

(x,y)為圓上一點，將其代如圓的方程，得：x/a+y/b=1。

這是一個橢圓方程，這表明該微小圓投影后為長半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來表示投影的變形，故叫做變形橢圓。

在研究投影時，可藉助變形橢圓與微小圓比較，來説明變形的性質和數量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以説明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比μ，為b<μ<a，橢圓面積與小圓面積之比，可以説明面積變形。橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。

投影平面上的微小面積與球面上相應微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF’=abπ,相應球面上微小圓的面積dF=1π為例，以P表示面積比，則：P=dF’/dF=abπ/π=ab。

上式説明面積比等於主方向長度比的乘積。若經緯線方向就是主方向時：P=mn。

若經緯線方向不是主方向時，則面積比：P=mnsinθ(θ為投影后經緯線夾角)

面積比是個變量，它隨點位置不同而變化。

面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。

面積變形有正有負，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負，表示投影后面積縮小。

投影面上任意兩方向線所夾角與球面上相應兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點可以做許多方向線，每兩條方向線均可以組成一個角度，這些角度投影到平面上之後，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產生的變形一般也不一樣。

在各種投影圖上，都存在着誤差或變形。並且各不同點的變形數量常常是不一樣的，為了便於觀察和了解繪製區域變形的分佈。常用等變形線來表示製圖區域的變形分佈特徵。等變形線就是變形值相等的各點的連線，它是根據計算的各種變形的數值（如p,w）繪於經緯線網格內的，如面積等變形線。

等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分佈。

等變形線通常是用點虛線來表示的。 ^[2] 

物體遮擋光線，投在它物表面上的影子。有光即有影。投影不是物體自身結構面的調子，從立方體、圓柱體、球體等基本形體看，它們自身上均無投影。懸空的球的投影，遠離自身，投在它物表面。複雜的組合形體上，因局部的起伏出現投影，例如，人頭部，鼻子的投影於面頰上，但該投影仍不是鼻子自身的色調。投影屬光影明暗系統的調子，與明暗調子密不可分。置於平面上的物體，投影緊挨着物體的低部與暗部反光相鄰，且起到襯托反光的作用，有利於空間感的表現。投影的色調一般比暗面深，其與物體相接部位調子深且邊緣清楚，反之，調子逐漸變淺，邊緣逐漸模糊。投影形狀與以下因素有關：①與物體形狀有關，如立方體、球體、圓柱體等的投影，其形狀各不相同。②與接受投影的物體表面形狀有關，如竹竿投影於樓梯和投影在地板上，各不相同。③與距光源遠近和光的投射角度有關。物體離光源愈近，投影愈大，反之愈小。光源愈低，投影愈長，反之愈短。 ^[3]