成本函數

用表格表示長短期成本函數的基本情況：

從模型的描述和比較W1，W2，很容易得到一些關於長期成本函數和短期成本函數的關係。

性質1：給定要素價格，對任意的產量y，和任意的固定要素量X2，一定有C(W1，W2，Y)≤C(W1，W2，Y，X)。

證明：因為短期成本函數模型相對與長期成本函數的模型，所有條件都一樣，只是增加了一條約束條件。所以短期成本函數模型中的可行域小於長期成本函數模型的可行域，從而前者的最小目標函數值不可能比後者的最小目標函數值值更小。而模型最小目標函數值正是成本函數值。

説明：這條性質説明，長期成本曲線在任意一條短期成本曲線的下方。

性質2：給定要素價格W1，W2，對任意的產量y，存在某個固定要素量X2，使得C(W1，W2，Y)=C(W1，W2，Y，X)。

證明：事實上，取*x2=x2=x2(w1，w2，y)，則從預算約束的成立，可以推知，一定有x(w1，w2，y，x)=x(w1，w2，y)，從而：C(w1，w2，y)=w1x1(w1，w2，y)+w2x2*=wx1(w，w，y，x*)+w2x2*=C(w1，w2，y，x*)。

説明：這條性質説的是，長期成本上的任意一點，都有一條短期成本線可以達到它。

性質3：給定要素價格W1，W2，對任意的產量y，由性質2知道存在某個固定要素量X2，使得C(w1，w2，y)=C(w1，w2，y，x)。那麼對於任意的y′≠y，一定有1：C(w1，w2，y′)

證明：因為在y′下，要素x1=x1(w1，w2y′)，x2=x2(w1，w2，y′)是最優選擇，所以對任意能生產出y′的其他要素組合x1′，x2′，一定有：w1x1(w1，w2，y′)+w2x2(w1，w2，y′)

説明：這條性質説的是，對於長期成本上的任一點，有一條短期成本曲線可以達到它。但是這條短期成本曲線在其他產量水平下，都是高於長期成本曲線的。這也就是説，在長期成本的任一點，不僅有一條短期成本曲線達到它，並且是以和它相切的方式達到。

性質1，2描述的一般性曲線關係，就叫做“包絡”關係。説白了，就是包絡線在下面，包住了所有曲線，並且包絡線的每一點，要能被曲線族中的某一條曲線取到。上述是成本曲線的關係，平均成本曲線就是在所有等式、不等式兩邊同除以y，所有性質還是成立的。於是，長期平均成本一樣是短期平均成本的包絡線。

短期成本函數反映了在技術、規模、要素價格給定條件下，最低成本隨着產量變動而變動的一般規律。技術水平是通過生產函數來刻劃的。因此，成本函數和生產函數之間存在着非常密切的關係。若給定生產函數和要素價格，就可以推導出成本函數。

成本與產量之間關係的函數圖象表示。從長期來看，企業的成本耗費無論是數量上或是利用率上都是處於變化之中的，企業生產每一數量產品的最低成本就是長期總成本。長期總成本曲線就是長期總成本函數的圖象表示：

長期總成本曲線的陡峭程度完全取決於生產函數和生產要素的價格。此曲線表現出這樣幾項特點：其一，成本和產量有直接關係，從上圖中可以看出曲線有正科率，它表明產量增加，總成本就會增加，説明資源是有限的。其二，LRTC曲線先以一逐漸遞減的比率，然後再以一個逐漸遞增的比率上升，從上可以看出X產量的增量是相對的，而C成本的增量先是遞減，然後是遞增，即X1X2=X2X3時，但C1C2＞C2C3，相反，當X4X5=X5X6jf，C4C5＞C5C6。

從短期來看，企業耗費的成本有一總值是固定的，如廠房設備折舊費等，有一部分則是變化的，如原材料、人工費等。所以，產品的短期總成本總是等於固定總成本與總變動成本之和，短期總成本曲線就是短期總成本函數的圖象表示。

下面是一個具體的例子。

設：生產函數：

約束函數：

要素價格：

則要素邊際產量：

最低成本的要素投入組合的必要條件：

由此得到要素最佳投入比例：

分別將(3)、(4)代人生產函數(1)得：

將（5）代人約束函數(2)得：

就是（6）

（6）就是得到的成本函數。該成本函數的邊際成本和平均成本都是常數，不具有典型形態。

經濟分析中的成本曲線和生產曲線具有非常工整的對應關係：

1、總產量曲線和總成本曲線：

隨着變動要素投入量的增加，總產量先遞增地增加，然後遞減地增加。與此對應，隨着產量的增加，總成本先遞減地增加，然後遞增地增加。

2、邊際產量曲線與邊際成本曲線：

隨着勞動投人量的增加，邊際產量先提高，後下降。與此對應，隨着產量的增加，邊際成本先下降，後提高。使邊際產量最大的變動要素投入量，對應於邊際成本最低的產量。

3、平均產量曲線與平均變動成本曲線：

隨着勞動投入的增加，平均產量先提高，後下降。與此對應，隨着產量的增加，平均變動成本先下降，後上升。使平均產量最大的變動要素投入量，對應於平均變動成本最低的產量