應變能

以一維問題為例，一個截面積為A、長度為L的等截面直杆在軸向外力P1的作用下伸長

（圖1）。如果不考慮變形過程中的動力效應和温度效應，則外力作的功W全部貯存到杆中，變成了杆的應變能U，其值為：

式中P為變形過程中與伸長量

對應的載荷。在圖2所示的P－

曲線中，曲線下方的面積相當於杆中的應變能。而和曲線上方的面積相應的為餘應變能（簡稱餘能），記為U*，其值為：

式中V=LA為杆的體積；

=P/A為杆中的應力；

=

/L為杆中的應變；

1、

1分別為P1、

1對應的應力和應變。如果杆的材料為線彈性的（即應力和應變成正比），則應變能和餘能相等，即

式中E為彈性模量。

在三維問題中，有六個獨立的應力分量和六個獨立的應變分量。在小變形的情況下，每個應力分量在相應的應變分量上作功，因此應變能和餘能的表達式都包括六項：

式中

xx、

yy、

zz、

xy、

xz、

yz為物體在加載過程中的應力分量；

xx、

yy、

zz、

xy、

xz、

yz分別為與上述應力分量相應的應變分量；積分上限的下標1表示加載終點。對於線彈性體則有：