應變能密度

單位體積的彈性應變能稱為彈性應變能密度。 ^[1] 

彈性體受外力作用後，不可避免地要產生變形，同時外力的勢能也要產生變化。根據熱力學的觀點，外力所做的功，一部分將轉化為彈性體的動能，一部分將轉化為內能；同時，在物體變形過程中，它的温度也將發生變化，或者從外界吸收熱量，或者向外界發散熱量。現分析彈性體內任一有限部分∑的外力功和內能的變化關係，設彈性體內取出部分Σ的閉合表面為S，它所包圍的體積為V。以δW表示外力由於微小位移增量在取出部分Σ上所作的功，δU表示在該微小變形過程中取出部分Σ的內能增量，δK表示動能增量，δQ表示熱量的變化（表示為功的單位），根據熱力學第一定律，則有

我們首先假設彈性體的變形過程是絕熱的，也就是假設在變形過程中系統沒有熱量的得失。再假設彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中，荷載施加得足夠慢，彈性體隨時處於平衡狀態，而且動能變化可以忽略不計（這樣的加載過程稱為準靜態加載過程），則根據上式表示的熱力學第一定律，外力在變形過程中所做的功將全部轉化為內能儲存在彈性體內部。這種貯存在彈性體內部的能量是因變形而獲得的，故稱之為彈性變形能或彈性應變能。由於彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載後，彈性應變能將全部釋放出來。下面，推導單位體積彈性應變能的表達式。

仍以X、Y、Z表示單位體積的外力，表示作用在彈性體內取出部分Σ表面上單位面積的內力。對上述的準靜態加載過程，可以認為彈性體在外力作用下始終處於平衡狀態。外力所作的功W包含兩個部分：一部分是體力X、Y、Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W₂，它們分別為

故

因此，外力由於微小位移增量在取出部分Σ上所作的功δW 可以表示為

將平衡微分方程和靜力邊界條件代入上式，並利用散度定理，上式可化為

最終可推得相應的內能增量δU為

定義函數u₀(ε_ij)，使之滿足

該定義式稱為格林（Green）公式。

則有

。

由上式可以看出，函數u₀(ε_ij)表示單位體積的彈性應變能，故稱之為彈性應變能密度函數（或彈性應變比能函數），簡稱為應變能。由於彈性應變能密度函數表示彈性體的內能概念，因此，它必然是一個勢函數，故也稱之為彈性勢函數。

對

取積分可得

這裏，u₀(ε_ij)和u₀(0)分別表示物體變形之後和未變形時的彈性應變能密度。通常，取u0(0)=0，於是有

根據格林公式，假如u₀(ε_ij)的具體函數形式能夠確定的話，那麼，彈性體的應力與應變之間的關係也就完全確定了。這表明，彈性應變能密度函數是彈性材料本構關係的另一種表達形式。

應變能：

。

應變能密度：杆件應變能與杆件體積之比。

應變能 —— 是杆件參數，與杆件變形有關。

應變能密度 —— 與杆件無關，只與應力狀態有關。

應變能密度

=體積改變能密度

+形狀改變能密度

。

體積改變能密度：

形狀改變能密度：