應力函數和位移函數

最有名的應力函數是彈性力學平面問題中的艾裏應力函數。如果沒有體力，平面中的三個應力分量σxx、σyy、τxy滿足下列方程：

根據方程(1),可將應力分量用一個函數φ（x，y）表示為：

φ便是艾裏應力函數。對於均勻和各向同性的物體,φ是一個雙調和函數，即它滿足下列雙調和方程：

ΔΔφ=0，　 (3)

式中Δ是平面的拉普拉斯算符。引入φ後,平面問題原來的8個未知函數(兩個位移分量、三個應變分量和三個應力分量σxx、σyy、τxy就歸結為一個函數φ。這對求解具體問題很有好處。

在彈性柱體的扭轉問題中,剪應力分量τxz、τyz滿足下列平衡方程：

據此可將τxz、τyz用一個函數Ψ(x，y)表示為：

Ψ稱為普朗特應力函數。對於均勻和各向同性的柱體,Ψ滿足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　(6)

式中G為材料的剪切模量（見材料的力學性能）;θ為單位長度的扭轉角。

在求解彈性力學的空間問題時，也可以用六個應力函數代替原來的六個應力分量，但好處不多。所以，一般多采用各種位移函數。對於均勻和各向同性彈性體，位移分量u1、u2、u3滿足下列平衡方程：

式中Δ是空間中的拉普拉斯算符；ν為材料的泊松比；G為剪切模量；fi為體力分量。方程(7)的解可以表達成多種形式。一種形式為：

式中ψ1、ψ2、ψ3、

四個函數滿足下列方程：

函數ψ1、ψ2、ψ3、

稱為布森涅斯克-帕普科維奇-紐勃位移函數。 彈性力學中許多空間問題的解都是從公式(8)推導出來的。

方程(7)還有另一種形式的解，即

式中Fi滿足下列方程：

函數F1、F2、F3稱為布森涅斯克-索米利亞納－伽遼金位移函數。對於迴轉體的軸對稱問題，公式(10)可作許多簡化。取對稱軸為z軸(x3軸),記r為所考慮點到z軸的距離,並記位移在r、z軸上的投影分別為u、w。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F3=F(r，z)。這樣由公式(10)可得到：

式中,即柱座標中的拉普拉斯算符；F滿足下列方程：

公式(12)中的函數F稱為樂甫位移函數。 在求解軸對稱問題時，經常利用公式(12)。

在f1=f2=0的情況下,即使不是軸對稱問題,方程(7)的解也可用一組位移函數F、f表示如下：

式中F、f滿足下列方程：

這組位移函數特別適用於求解無限體、半無限體和厚板等問題。