慣性質量

根據牛頓萬有引力定律，宇宙萬物間都存在着吸引力。引力的大小跟物體間的距離有關，跟物體本身所具有的產生引力場和受其它引力場作用的能力有關。物體的這種能力的大小用質量來表徵，這就是經典力學中的引力質量。本文從萬有引力定律引入質量的概念，從而推出慣性質量的本質。為完整起見，現將萬有引力定律的定量關係簡述如下:

質量分別為M和m的兩個質點，相距為r,它們之間的引力為

F=G0Mm/r^2 （1）

式中G0為萬有引力常數，r為兩質點之間的距離。

物體只在萬有引力的作用下，或轉化（下一節將對“轉化”作專門論述）為物體的加速度，或表現為物體的重力（這裏的重力，相當於經典力學中的視重），或兩者同時有之。如一個物體在地面附近自由下落（忽略空氣阻力，下同），下落過程中，地球對物體的引力完全轉化為物體相對地球的加速度，重力為零。當物體下落到一張桌面時，就受到桌面對它的阻力，使得只有極少部分引力轉化為物體的加速度（設物體不在兩極，若在兩極，引力就完全表現為物體的重力），大部分表現為物體的重力，重力的大小等於地球引力與轉化為加速度的那部分引力之差。我們把這種阻止引力轉化為加速度的力，叫做稱力。稱力與重力是一對平衡力。上例中桌面對物體的阻力就是稱力，與該物體的重力是一對平衡力。

一個物體在萬有引力的作用下，為什麼説引力轉化為加速度了呢？我們不妨設想有一個密封艙，艙內有一物體m隨艙一起相對地球作自由落體運動，艙內觀察者認為，物體m不受任何外力的作用，處於靜止狀態，重力為零。與人們常説的遠離任何物質的空間中的物體不受引力的作用的情形等效，故説引力轉化為物體的加速度。下面引入一個重要的定義。

定義 物體在萬有引力的作用下，當引力完全轉化為物體的加速度時，我們就説該物體處於自然狀態，處於自然狀態的物體的重力為零。

以上所説的密封艙及物體m均處於自然狀態。由稱力的定義，得出以下重要結論，將替代經典力學中的慣性定律。

定律1 任何具有質量的物體都保持自然狀態，直到有稱力迫使它改變這種狀態為止。

稱力是引力表現為重力的充要條件，稱力的存在，是破壞物體保持自然狀態的重要條件。

設想有三個單向透明艙，（在艙內的觀察者無法看到艙外的情況，但艙外觀察者可以看到艙內發生的事情。）在地球引力場內，一個自由下落，一個作斜拋運動，一個圍繞地球運動。這三個艙均處於自然狀態，在這些艙內無法進行這樣的力學實驗，以分辨各艙的實際運動情況。可見，處於自然狀態的物體作為參照系是等價的，為方便起見，我們就自由下落的情形作進一步的討論。

有一個單向透明艙，在地球Me上空自由下落

該艙相對地球處於自然狀態，艙內有一物體m相對該艙靜止，顯然，m也處於自然狀態。無論對m施加何種方向的力，在艙內均能用牛頓運動定律解決，即該艙可以看作經典力學中的慣性參照系。若艙內物體m相對該艙有一恆定的速度v

即處於勻速直線運動狀態。在艙外觀察發現，物體m與艙都在地球上空作自由落體運動，只是下落速度不同，可看作物體m先於該艙作自由落體運動，物體m仍處於自然狀態。

現把艙與一滑桿相連，並沿滑桿自由下落

艙內觀察者認為，物體m在一種力的持續作用下，產生相對該艙的加速度a，物體具有重力，不處於自然狀態。從艙外看，這種產生加速度的力就是如前所説的稱力。稱力的大小等於地球對物體m的引力所表現出的重力。產生同樣大小的加速度a，稱力與物體的質量m成正比例。由此可見，經典力學中的慣性質量本質上就是上面所講的引力質量，也就是説，在艙內看是所謂的慣性質量，在艙外就能看到它的本質是引力質量。

我們再把單向透明艙靜止在地面上

艙內物體m處於靜止狀態,若對物體m施加一個水平方向的力F，併產生相對艙的加速度a。證明力F是稱力。我們把圖四中地球Me與艙組成的系統放入一個更大的單向透明艙

這時，我們必須跳到艙外觀察，該艙相對更大的物體Ms以加速度as自由下落，處於自然狀態，力F的大小等於Ms對m的引力所表現出的重力，力F是稱力，即m本質上為引力質量。若沒有F的作用，物體m在水平方向處於自然狀態。

若把以上的Ms看作太陽的質量，地面上的一列火車突然以加速度a向前啓動，桌面上的一物體m（不計摩擦力）將以相反的加速度－a向相反方向運動。經典力學認為,使物體以加速度－a運動的力是一種假想的慣性力（圖六）：

從圖六不難理解，經典力學中慣性力實質就是Ms對物體m的萬有引力,此時，物體m在水平方向處於自然狀，直到物體m受到車廂後壁稱力的作用，產生水平方向的重力為止。該重力隨稱力的增大而增大。如果稱力的增大永遠能實現，即存在無限大的重力，則證明宇宙間有無限的質量，即物質是無限的，反之，若稱力增大到一定程度，物體的運動不再受牛頓運動定律支配，則證明宇宙間物質的質量是有限的。

五、慣性系的本質

我們知道，運動是物體間的相對運動，研究物體的運動，參照系的質量和研究對象的質量是極其重要的，本論將以以下結論代替牛頓第二定律：

定律2 設物體的質量為m，參照系的質量為M,物體m在力F的作用下，產生（或轉化為）相對M的加速度a,存在關係

F= (Mm/(M+m))a （2）

從理論上説，我們可以拋掉慣性系，用更普遍的（2）式代替牛頓第二定律。當M>>m時，M/(M+m)≈1， F≈ma，可見，牛頓第二定律是定律2的特例。經典力學所尋找的慣性系實質是大質量的物體，嚴格的説應是質量遠大於研究對象的物體。由於不存在一個質量為無限的物體，所謂嚴格的慣性系不是找不到，而是不存在。本論認為，任何處於自然狀態的且質量遠大於研究對象的物體，作為參照系是十分方便有效的。如地球相對太陽處於自然狀態，且質量遠大於地面上的物體，故是一個十分接近慣性系的參照系。對於質量懸殊不大的物體，研究其相對運動，直接用（2）式是可行的。如有一個物體的質量m與地球質量Me大小接近，這時就不能把地球作為慣性系，當m在地面附近自由下落，其下落的加速度決不是1千克小球下落的加速度，其加速度a可由萬有引力的表達式（1）與定律2的表達式（2）聯立，得，

a=G0(Me+m)/r^2

當m<<Me時，a≈G0Me/r^2，可近似地看作與m無關，這正是伽利略“斜塔實驗”的傳説至今不衰的原因，即便在今天亦無法測出a與G0Me/r^2間的差。

慣性質量和引力質量是兩個不同的物理概念。萬有引力定律公式中的質量稱為引力質量，它表示物體產生引力場或變引力作用的本領，一般用天平稱得的物體質量就是物體的引力質量。牛頓第二定律公式中的質量稱為慣性質量，它是物體慣性的量度，用慣性秤可以確定物體的慣性質量。

物體在恆力F作用下做加速度為a的直線運動，如果設法測出F和a，可求得物體的慣性質量。實驗室中採用使物體在彈性力作用下做變加速直線運動，即簡諧運動的方法來確定其慣性質量，也就是通過測定其振動週期T=2*pi*sqr(m/k) ，來比較物體的慣性質量。

我們排除掉特殊的物質所具有的特殊性，比如電荷具有的電的作用，具有磁性的物質具有的磁的作用，而僅考察所有的物質所具有的共性。大量的經驗事實使我們可以得到兩種獲得物體質量的方法。

一種方法是利用物體本身具有的慣性，給這個物體施加一個矢量的作用力，那麼這個物體會在這個作用力的作用下發生存在狀態的改變。這一點是所有特定質量的物質都具備的。我們通常將這種方法所測得的質量叫做慣性質量。具體的方法則是：

在物體處於特定存在狀態的時候，如果要改變這種存在狀態，那麼必然要對這個物體施加作用力，根據牛頓第二運動定律，我們可以得到，在物體所受到的作用力不變的情況下，物體的質量同加速度成反比。我們只要測定了作用力的大小和物體加速度的大小，那麼就可以確定物體的質量。

另一種方法是處於引力場中的具有質量的物質，都會受到引力的作用。在同一引力場強度下，物體所受到的作用力同物體的質量成正比。我們通常將這種方法得出的質量叫做引力質量。我們所應用的質量模式可以認為是引力質量模式。因為引力質量是我們採用質量的定義所得到的最初的模式。

但實際上，這樣的一種經驗結論是通過對大量的處於地球引力場中的物體進行觀察所得出的結論，開創性的貢獻可以認為是由牛頓先生來完成的。

在質量的應用歷史上，我們甚至不能分辨引力質量和慣性質量的應用的先後。因為我們通過引力質量的模式確定物體的質量，但是在實際的應用過程中，我們通常都是將兩種模式的質量通用。具體表現在如下的方面：

最初我們所採用的質量都是採用引力質量的方法測定的，具體的方法則是採用天平的模式建立的。即：建立一個標準單位質量，然後通過這一標準單位質量去在地球的引力場中去衡量其它物體質量的模式來確定物體的質量。我們利用這種方法得到的質量來對物體的運動變化進行計量，比如牛頓第二運動定律的量的模式，就是採用這種方法來確定的。採用引力質量來確定物體的量，然後再採用慣性質量的模式來建立物質的運動變化規律。

我們雖然可以採用兩種方法得到物體的質量。但是這兩種物體的質量定量的模式在屬性上都是相同的，都是採用作用力的方法進行定量。不論是引力場給與物體的作用力得到質量的特點，還是給物體施加作用力改變物體運動狀態所表現出的物體質量的特點。只要作用力的屬性是相同的，那麼物體的質量屬性就是相同的。但實際上物體的質量和作用力都是採用循環定義的。用作用力去定量物體的質量或者用物體的質量去定量作用力。另一方面是，不論是引力還是我們給物體施加的作用力，都是力，都具有力的屬性，在這方面，是沒有區別的。因此兩種質量是沒有區別的。或者慣性質量和引力質量的屬性是相同的，甚至可以説，兩種質量沒有任何的區別，唯一存在區別的是採用的定量方法不同。

在牛頓定律中 質量的概念是作為物體的慣性的量度而提出的．實驗表明，以同樣大小的力作用到不同的物體上時，一般説來它們所獲得的加速度是不同的．例如象前面所説過的那樣，用同樣大小的力推動一輛空車和一輛載重車時，空車獲得的加速度要比載重車獲得的加速度大．這就説明，在外加力的作用下，物體所獲得的加速度不僅與力有關，而且還與物體本身的某種特性有關．這個特性就是慣性．在同樣大小的力作用下，空車獲得的加速度大，就表明它維持原有運動狀態的能力小，即慣性小；載重車獲得的加速度小，就表明它維持原有運動狀態的能力大，即慣性大．在物理學中，就引入慣性質量這樣一個物理量來表示物體慣性的大小．當然，這裏所説的“物體”仍應理解為是指質點．所以可以説，慣性質量是物體被當做質點時其慣性大小的量度．如前所述，一個實際物體只有當它僅做平動時才可被當做質點，故也可以説，慣性質量是物體平動時慣性大小的量度．由於物體的平動慣性是物體的固有屬性，故不論物體是否在做平動，對它談及慣性質量都是有意義的．

前面曾經談到，物體除了平動慣性外，還具有轉動慣性．例如，對於繞某固定軸線轉動的物體，其轉動慣性是用什麼來量度的呢？由在第一部分中得到的、表示剛體繞固定軸轉動的轉動定律M=Iβ可知，若施相同的外力矩M於轉動慣量I不同的物體，則所得的角加速度β是不同的：轉動慣量越大的物體獲得的角加速度越小，説明物體保持原來的轉動狀態的特性越強，即轉動慣性越強；相反地，轉動慣量越小的物體獲得的角加速度越大，説明物體保持原來的轉動狀態的特性越弱，即轉動慣性越弱．由此可見，轉動慣量是物體轉動慣性大小的量度．

由於慣性質量是物體平動慣性大小的量度，故根據它本身的這種含義，再和“轉動慣量”的叫法對比可知，應把它改稱“平動慣量”方才貼切．但由於歷史的原因，大家已經習慣於“慣性質量”這種叫法了．並在通常的情況下，就把“慣性質量”簡稱為“質量”．

如前所述，定義一個物理量，就必須相應地規定出它的量度方法．為了量度質量的大小，可做如下規定：各物體的質量和它們在同樣大小的外加力作用下所獲得的加速度的大小成反比，即a∝1/m（在一定力作用下） （1）

選定某一標準體（如千克原器）為慣性質量的標準，其它物體的慣性質量的大小，可以藉助上述關係式，用測量加速度的辦法與標準體的慣性質量加以比較來求出．設m0為質量標準，則有m/m0=a0/a （2）

就可以確定另一個物體的質量m了．這樣就從原則上得到了質量的一種量度方法．

由於在這種量度方法中所用的具有人為規定性的（1）式，容易和牛頓第二定律中的a∝1/m（在任意力作用下） （3）這一客觀規律的表示式相混淆，所以有人誤解為，牛頓第二定律就是質量的定義或質量的量度方法．

這裏首先要弄清楚什麼是定義，什麼是定律．如前所述，定義和定律是不同性質的判斷．定義是給概念規定界限的判斷，而定律是幾個概念之間彼此的本質聯繫，它所反映的是客觀規律．應當認識到，牛頓第二定律正是這樣的客觀規律，它所反映的是力、質量和加速度這三者之間的本質聯繫．它是建立在大量實驗事實的基礎上並經受了長期實踐檢驗的真理．它和給質量下定義及規定量度方法所涉及問題的性質完全不同，因此從根本上來説決不會是質量的定義．實際上，人們所以能總結出牛頓第二定律，就是因為人們預先就對力、質量和加速度這三個物理量的概念和測量方法已經有所掌握，然後才能通過實驗找出它們之間的內在聯繫．也就是説，質量的概念及測量方法並非來源於第二定律，而是先於這個定律．第二定律建立過程的歷史事實正是如此．就象我們在上面所説的那樣，早在牛頓第二定律建立之前，人們（包括牛頓）已經用“物質之量”給質量下了定義，並已憑經驗知道了通過比較重量來量度質量的方法．

無庸諱言，根據（1）式規定的量度質量的方法，是在已經建立起來的牛頓第二定律的啓發下提出的．但這決不表明在這種方法中使用了牛頓第二定律．上述誤解的產生可能是因為沒能正確理解由（1）式到（3）式的演變過程．用（1）式規定質量，是在一定的力作用下進行的．例如我們可以用一個單位的力分別作用於標準質量與待測質量的兩個物體上，然後根據帶有人為規定性的（1）式定出待測質量的值．但是若不再用一個單位的力施加在這兩個物體上，而是改用其他不同的力作用時，這兩個質量現已皆為已知的物體所產生的加速度與它們的質量之間滿足什麼關係，則不是我們能夠“規定”的了，而得看實驗事實．所以，用一定的力，根據（1）式所反映的人為規定的質量與加速度成反比的關係來測定質量，只是做為人們規定的一種測量方法．它不能保證當作用力不再是這個指定的力時，這種反比關係仍然成立．只有再經過大量的在不同的力、質量和加速度情況下的實驗，才能總結出（3）式所反映出的客觀規律，即牛頓第二定律的部分內容．總之，（1）式不是（3）式，用（1）式規定質量並沒有應用牛頓第二定律．反過來倒可以説，要建立反映牛頓第二定律部分內容的（3）式，是需要用（1）式所提供的測量質量的方法的（當然，也可以不用這種方法，而採用上述依靠實際經驗的力法）．

實際上，對於力的測量也存在類似的問題．如果我們不是使用彈簧秤來測力，而是由力的動力學效應，即產生加速度的能力的大小來測定力，就可選定一個標準物體（例如國際千克原器），並規定此標準物體的加速度與其所受之力成正比，即

F∝a．（對標準物體） （4）

這樣，如以二力作用於標準物體，且將其中的一個力F0定為力的單位，則在測出它們所引起的加速度a0和a以後，由根據（4）式得的關係

F/F0=a/a0 （5）

在這裏，（6）式才是牛頓第二定律的一部分．並不能説基於（4）式的力的測量方法是第二定律．

總之，通過對這類問題的討論應該認識到，物質的屬性與物體間的相互聯繫、相互制約的關係是不可分割的．因此，只有在研究物體機械運動狀態變化的規律的過程中，才能正確地、科學地建立力與質量的概念．但是，通過規律反映屬性，並不因此而抹煞規律的客觀性．另外，人對事物的認識過程是複雜的，循環往復的．“力”和“質量”的概念是人們在長期的實踐活動中逐漸形成的．運動定律就藉助於這些概念建立起來．但同時在運動定律中又使這些概念深刻化、科學化．因此，企圖把概念的形成與定律的建立完全割裂開來，甚至對立起來的想法是不必要的，實際上也是不可能的．

不過，這裏引起了一個值得思索的問題：慣性和引力是完全不同的兩種物理屬性，但是它們之間既然存在着普遍的、嚴格的正比關係，是否有可能它們不過是物體同一本質在不同方面的表現呢？這一問題的回答是肯定的．愛因斯坦建立的廣義相對論指出，物體的慣性和引力性質產生於同一來源．在廣義相對論裏，有一些參量一方面表現為物體的慣性，另一方面又自然而然地表現為引力場的源泉．這個結論成功地經受了十分精確的實驗檢驗．這類實驗經歷了三百年的歷史，尚在繼續進行中．從牛頓時代的精確度為10^(-3)發展到1922年愛德維斯提高到3×10^(-9)．到1964年狄克把精確度提高到1.3±1.0×10^(-11)．1971年，勃萊根許和佩諾又將實驗的精確度提高到10^(-12)數量級．所有這些實驗，均證實了m引/m慣=常數．因此，普遍認為物體的兩種不同屬性——慣性和引力性質，是它的同一本質的不同方面的表現．也就是説，物體的慣性和引力性質導源於物體的同一本質．愛因斯坦就曾把這兩種質量的等同作為他建立廣義相對論的出發點．故從現代物理學看來，這兩者的等同決非偶然，其中包含着深刻的物理意義．