愛因斯坦引力場方程

愛因斯坦場方程是一個二階張量方程

愛因斯坦引力場方程(2張)

式中，

為裏奇張量，表示了空間的彎曲狀況。

為裏奇標量，

為能量-動量張量，又稱能動張量，表示了物質分佈和運動狀況。

為度規張量。愛因斯坦場方程是一個高度非線性的方程，少有嚴格的解析解。一般將它的解寫成如下形式，它表徵了相對論時空中兩個事件之間的距離，和平直空間的勾股定理在形式上類似：

其中

是時空座標（既包括空間座標，也包括時間座標）。度規張量

的具體形式取決於座標系的取法，例如如果選擇空間球座標系，則愛因斯坦場方程的解具有如下形式

式中

為度規張量

的對角線分量，由於球座標系是一種正交座標系，所以

的非對角分量都是0。

如果考慮能量－動量張量

，那麼愛因斯坦方程的解將會很複雜。史瓦西令

等於0，對於真空靜止球對稱的情況，給出了代表黑洞的史瓦西解 ^[1] 

　此處的

（大寫的

）是宇宙常數，其物理意義是宇宙真空場，

為宇宙項。從數學角度看，含宇宙常數項的場方程也可解出下面的形式

這裏的

就是兩個事件的時空間隔。如果從物理意義上理解的話，把宇宙項移到式右邊，則是：　

項為負值，起到了斥力的作用，即宇宙真空場與普通物質場之間存在着斥力。宇宙項和通常物質場的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到穩定的宇宙解。

1905年愛因斯坦發表狹義相對論後，他開始着眼於如何將引力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者的理想實驗為出發點，他從1907年開始了長達八年的對引力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後，他於1915年11 月在普魯士科學院上作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦引力場方程。這個方程式的左邊表達的是時空的彎曲情況，而右邊則表達的是物質及其運動。“物質告訴時空怎麼彎曲。時空告訴物質怎麼運動。”（惠勒語）它把時間、空間和物質、運動這四個自然界最基本的物理量聯繫了起來，具有非常重要的意義。 ^[2]  愛因斯坦的引力場方程是一個二階非線性偏微分方程組，數學上想要求得方程的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多 近似方法，從引力場方程得出了很多最初的預言。

愛因斯坦場方程的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來説，電磁學的麥克斯韋方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛定諤方程，對於概率波函數也是線性的。 ^[1] 

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程退化為牛頓第二定律。（此部分有待補充）