微分幾何基礎

本書介紹了微分拓撲、微分幾何以及微分方程的基本概念。本書的基本思想源於作者早期的《微分和黎曼流形》，但重點卻從流形的一般理論轉移到微分幾何，增加了不少新的章節。這些新的知識為Banach和Hilbert空間上的無限維流形做準備，但一點都不覺得多餘，而優美的證明也讓讀者受益不淺。在有限維的例子中，討論了高維微分形式，繼而介紹了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的應用。給出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸沒中的特徵。書中講述了該領域的一些主要基本理論，如：微分方程的存在定理、光滑定理和向量域流，包括子流形管狀鄰域的存在性的向量叢基本理論，微積分形式，包括經典2-形式的辛流形基本觀點，黎曼和偽黎曼流形協變

（一）一般微分方程；

微積分；

流形；

向量叢；

向量域和微分方程；

向量域和微分形式運算；

Frobenius定理；

（二）矩陣、協變導數和黎曼幾何：

矩陣；

協變導數和測地線；

曲率；

二重切線叢的張量分裂；

曲率和變分公式；

半負曲率例子；

自同構和對稱；

浸入和浸沒；

（三）體積形式和積分：

體積形式；

微分形式的積分；

Stokes定理；

Stokes定理的應用；

譜理論。

Serge Lang，美國數學家，以編寫多部圖書而聞名，一生寫作超過50部數學教科書，並輔以原創習題，其中著名的一部是研究生教材Algebra，該書已被世界圖書出版有限公司引進出版。 ^[1]