彈性波

應力波是應力和應變擾動的傳播形式，彈性波是應力波的一種，即擾動或外力作用引起的應力和應變在彈性介質中傳遞的形式。彈性介質中質點間存在着相互作用的彈性力。某一質點因受到擾動或外力的作用而離開平衡位置後，彈性恢復力使該質點發生振動，從而引起周圍質點的位移和振動，於是振動就在彈性介質中傳播，並伴隨有能量的傳遞。在振動所到之處應力和應變就會發生變化。彈性波理論已經比較成熟，廣泛應用於地震、地質勘探、採礦、材料的無損探傷、工程結構的抗震抗爆、岩土動力學等方面。

某一彈性介質內的彈性波在傳播到介質邊界以前，邊界的存在對彈性波的傳播沒有影響，如同在無限介質中傳播一樣，這類彈性波稱為體波。體波傳播到兩個彈性介質的界面上，即發生向相鄰彈性介質深部的折射和向原彈性介質深部的反射。此外，還有一類沿着一個彈性介質表面或兩個不同彈性介質的界面上傳播的波，稱為界面波。如果和彈性介質相鄰的是真空或空氣，則界面波稱為表面波。彈性波繞經障礙物或孔洞時還會發生複雜的繞射現象。

按傳播方向和質點振動方向之間的關係，體波可分為：①縱波，又稱為脹縮波，在地震學中也稱為初波或P波。它的傳播方向同質點振動方向一致,波速為

式中ρ為彈性介質密度;λ和G為彈性介質的拉梅常數。②橫波，又稱畸變波或剪切波，在地震學中也稱為次波或S波。它的傳播方向同質點振動方向相垂直，波速為

，小於縱波波速。波傳播中所有質點均作水平振動的橫波稱為SH波；所有質點均作豎直振動的橫波稱為SV波。橫波是偏振波，所謂偏振是指橫波的振動矢量垂直於波傳播方向但偏於某些方向的現象。縱波只沿波的傳播方向振動，故沒有偏振。

在彈性介質內,從波源發出的擾動,向四方傳播，在某一瞬間，已被擾動部分和未被擾動部分之間的界面稱為波面或波陣面。波面呈封閉的曲面。波面為球面的波稱為球面波，波面為柱面的波稱為柱面波。波面曲率很小的波可近似地看作平面波。

界面波的一個特徵是，質點擾動振幅隨着質點離界面距離的增大而迅速衰減，所以界面波實際上只存在於表面或界面附近。常見的界面波有瑞利波、樂甫波和斯通利波三種：

沿着半無限彈性介質自由表面傳播的波，因瑞利於1887年首先指出這種波的存在而得名。瑞利波是偏振波，質點在垂直於傳播方向的平面內運動。在表層附近,質點的運動軌跡為一個橢圓。在離表面為0.2個波長的深度以下，質點的運動軌跡仍為橢圓，但質點沿橢圓的運動方向與表層相反。在自由表面上，質點沿表面法向的位移大約為切向位移的一倍半。瑞利波的波速與頻率無關，只與介質的彈性常數有關，為同介質中橫波波速的0.862～0.955倍。但如果在彈性介質表面上面有一層疏鬆覆蓋層，瑞利波便有頻散現象，即波速隨頻率而改變的現象。在地震學中，瑞利波記作R波或LR波。瑞利波的發現，對地震科學的發展起了推動作用。在地震過程中,瑞利波按R1/2而衰減,R為波傳播的距離。瑞利波在震中附近不出現，在離開震中一段距離後才能形成。從震源射出的縱波形成瑞利波的距離為：

從震源射出的橫波形成瑞利波的距離為：

式中cR為瑞利波波速；h為震源深度;α和β分別為縱波和橫波的波速。

如果彈性介質界面上存在一層等厚度的低波速的彈性覆蓋層，則在低波速覆蓋層內部和分界面上就會產生SH波，稱為樂甫波，因A.E.H.樂甫建立了這種波的數學模型而得名。樂甫波是有頻散的波。波長很長的樂甫波的波速與下層彈性介質中的橫波波速接近，波長很短的樂甫波的波速與上面低波速覆蓋層中的橫波波速接近。在有頻散時，擾動不是以相速度傳播，而是以羣速度傳播。相速度是指單色波中對應任一振動相位的狀態（如波峯）向前傳播的速度，而羣速度是指各單色波疊加後的調製振幅的傳播速度，它也是合成波傳播能量的速度。

在兩種不同介質的半空間體的交界面上傳播的波稱為斯通利波，因斯通利首先發現並研究這種波而得名。它是一種波速與兩個介質的性質有關的變態瑞利波。斯通利波的存在與介質的彈性拉梅常數和介質密度有關。在兩個介質的拉梅常數λ1、G1和λ2、G2滿足λ1/G1=λ2/G2=1的情況下，存在條件如圖一所示，如果兩個介質的密度ρ1和ρ2之比ρ1/ρ2和G1/G2在圖示座標系中對應的點落在曲線A和曲線B之間，斯通利波就存在。在地震學中，理論上已證明斯通利波是存在的，但尚未觀測到。

彈性波到達界面後，一部分返回到原來的彈性介質內，即發生反射現象；另一部分穿過界面進入相鄰的另一彈性介質內，即發生折射現象。在同一彈性介質中，介質本身不均勻引起的彈性波傳播方向改變也稱為彈性波的折射（若傳播方向改變後與原來的傳播方向相反則為反射）。縱波入射到平面交界面上會產生一個反射縱波和一個反射橫波；橫波入射到平面交界面上，也會發生同樣的現象。

彈性波在傳播過程中遇到障礙物邊緣或孔洞時所發生的彎折現象稱為波的繞射。障礙物或孔洞越小，波長越長，則繞射現象越顯著。繞射現象反映出波的特性。在地震學中，研究震源附近區域內彈性波的傳播時需要考慮波的繞射。

彈性波傳播問題的研究可分為理論研究和實驗研究兩方面。

理論研究 主要是從波動方程出發進行研究。經典波動方程在直角座標系中可表示為：

式中為拉普拉斯算符；α 和β 分別為縱波波速和橫波波速；

=

(x,y,z,t)為標量勢；ψx=ψx(x,y,z,t)、ψy=ψy(x,y,z,t)、ψz=ψz(x,y,z,t)為矢量勢φ(x,y,z,t)的三個分量。ψx、ψy、ψz統稱為波函數，它們和

同坐標系中的三個位移分量u、v、w的關係為：

上述波動方程是根據下面的假設導出的：①彈性介質中各質點間的相對位移為無窮小量；②介質是完全線彈性的，即應力和應變之間呈均勻線性關係，服從胡克定律；③介質是各向同性的；④不計外力（如重力、體積力、摩擦力等）。

理論上解決彈性波問題就是要在定解條件下解出波函數。波動方程是一個二階常係數線性偏微分方程，可用線性體系的疊加原理、數學變換和分離變量等解析方法求解。如果問題中的幾何形狀或介質的性質比較複雜，可利用大型電子計算機進行數值求解。

它是理論研究的基礎。在電子技術出現以前，介質中彈性波傳播的實驗主要用於地震波的偵測和聲學中可聞頻率振動的研究。現代電子技術的發展，推動了彈性波的實驗研究。下面是兩個最早的普遍使用的實驗裝置：

B.霍普金森是最早在實驗室條件下應用電子技術研究彈性波傳播的學者之一。為了紀念他的工作，把他在實驗中所用的試件命名為霍普金森壓桿。他通過實驗研究炸藥爆炸或子彈撞到堅硬表面時，壓力隨時間變化的規律。霍普金森壓桿為一圓柱形鋼杆，長約1米，直徑為2.5釐米，由四條線掛成水平位置，這些線可以在垂直面內擺動。在杆的一端加上一個短的柱形顆粒稱為測時器，而瞬變壓力作用在杆的另一端。測時器和桿直徑相同，並且是用同一種鋼材製造的。當壓縮脈衝由一端傳至測時器一端時，在測時器的自由端面上反射成拉伸脈衝，使測時器飛離杆端。測出測時器的動量，就可算出壓力與時間的關係。

R.M.戴維斯首先設計了包括一個壓桿（後稱為戴維斯壓桿）的電測實驗裝置，該裝置能連續記錄由壓力脈衝引起的自由端的縱向位移，並可直接測到位移-時間曲線，再經微分，即可得到脈衝壓力-時間曲線。

霍普金森壓桿和戴維斯壓桿都要滿足兩個條件：一是壓桿內任何點的應力不能超過所用鋼材的彈性極限；二是壓力變化引起的壓縮脈衝的波長同壓桿半徑相比要足夠大。

1821年,C.-L.-M.-H.納維建立了彈性體平衡和運動的一般方程，彈性波的研究隨之展開。1829年，S.-D.泊松在研究彈性介質中波的傳播問題時,發現在遠離波源處有縱波和橫波兩種類型的波。到1845年，彈性波傳播的數學理論已經發展成熟，G.G.斯托克斯證明縱波是脹縮波，1849年又證明橫波是畸變波。後來學者們對拉壓、扭轉和彎曲三種類型的無限長彈性杆中彈性波的傳播問題進行了研究，並得到了精確解。瑞利、H.蘭姆等人給出了無限平板中的波動方程的解。蘭姆在1904年建立了半無限彈性體表面和內部由於擾動線源和點源的作用而引起的波動問題的理論，並得到了問題的解，故該問題稱為蘭姆問題。在地震學裏，蘭姆問題應用廣泛，但只適用於遠場（遠離擾動源的地方）。50年代後，彈性波繞射問題的研究取得成果，但主要限於無限彈性介質內球形、圓柱形空腔等方面。不規則孔洞和結構以及半無限介質中波的繞射問題的解析解較難找到，主要是不規則的邊界條件很難滿足。彈性波在粘彈性介質中傳播是一個重要課題，可以用來解釋許多地球物理、聲學和工程力學現象。複合材料力學的迅速發展，推動了對複合材料中波的傳播理論的研究。多孔介質中波的傳播理論的研究工作業已開始，它對地球物理學、材料工程、石油勘探等方面有重要實際意義。

在精確理論發展的同時，近似解理論也得到發展。有限差分方法先被用於解決短杆中彈性波的傳播問題，後被推廣到一些複雜結構中波的傳播問題。有限元法逐步用於研究彈性波問題，開始用於分析細杆中彈性波的傳播，後用於分析各種結構（柱、板、殼體）中的波的傳播以及層狀介質、正交異性介質中的波的傳播等。非線性彈性波的傳播問題的研究也取得初步成果。