彈性力學廣義變分原理

彈性力學最小勢能原理和彈性力學最小余能原理的推廣，其特點是，變分式中各量都可有獨立的變分，並且事前不受任何限制。在彈性力學空間問題中，最一般的廣義變分原理可敍述為：彈性力學空間問題的解必須滿足彈性體的廣義勢能變分為零的條件，該條件又稱為駐值條件，即

式中∏_s為彈性體的三類變量廣義勢能，其表達式為：

式中

為應變能密度；

為應變分量；f_i為體積力分量；u_i為位移分量；為應力分量；p_i為面力分量；Ω為彈性體所佔的空間；B₁為位移邊界面；B₂為受力邊界面；u_i槓和p_i槓為邊界上給定的位移分量和麪力分量；dB為面積微元；式中重複下標表示約定求和。在變分式（1）中，

、

、

等15個函數都可有獨立的變分，並且事前沒有任何附加條件（表面力p_i看作是從屬於應力

的量）。從條件（1）可推出彈性力學的全部基本方程，包括應變-位移關係，應力-應變關係、平衡方程和邊界條件。上述變分原理的獨立變量有位移、應變、應力三類，因此稱為三類變量廣義變分原理。它是中國力學家胡海昌於1954年首先提出的，日本的鷲津久一郎於1955年也獨立地得到這一原理，所以又稱胡-鷲津原理。

彈性力學廣義變分原理有一種稍弱的形式，即二類變量廣義變分原理，又稱為赫林格-瑞斯納原理。它由E．赫林格於1914年和E．瑞斯納於1950年分別獨立提出，其數學表達式為：

式中

為餘能密度。

中的獨立自變函數有u_i和

兩類共九個。將應變-位移關係代入式（2），消去

，就可以得到式（4）。因此二類變量廣義變分原理是三類變量廣義變分原理的一個特殊情況。

在有限元法和工程彈性理論中，廣義變分原理有廣泛的應用。例如，在板殼彎曲的有限元計算中，用它處理變形的不協調性，可得到較好的結果。對於解決幾何非線性問題，胡-鷲津原理是一個有力的工具。在工程彈性理論中，廣義變分原理可用於推導各種近似理論；在彈性振動和穩定理論中，可用於求固有頻率和臨界載荷，並能獲得較好的結果。