張同

1952至1956年，正值國家開展第一個五年計劃建設，全國掀起了向科學進軍的熱潮，國家為全部大學生都提供了助學金待遇，張同所在年級的同學猛增至120人。在大學期間對他影響最大的是柯召和周雪鷗兩位老師。周雪鷗講授了微積分及常微分方程的全部課程，講課深入淺出、生動誘人，富有啓發性。柯召從一年級到四年級共開設了高等代數、線性代數、數論導引和矩陣論四門課，講課如行雲流水，展示出數學的無限魅力。1956年春，柯召指導張同十分順利地完成了畢業論文《矩陣代數的反自同構》，在他畢業前由柯召和他聯名發表於《四川大學學報》。

張同從初中起就表現出歌唱及表演才能，常活躍於學校舞台上，但體質較差，初二時曾患過肺結核。參軍復員後始認真鍛鍊身體，加之大學時代伙食條件大為改善，體質逐漸增強，後被選入校田徑隊，並獲得過成都市大學生運動會200米跑第4名。大學時代他曾任年級學生會副主席，分管文娛體育。在他精心策劃組織下，他們年級屢獲校文藝匯演大獎，數學系獲校運動會團體總分冠軍，其中過半分數均系他們年級的貢獻。大學畢業時的他已成為一個學業優秀、身體健壯、性格開朗的青年，與解放前判若兩人。但由於家庭原因，他從未被評為“三好”學生。

大學畢業後，張同被分配到中國科學院數學所，研究偏微分方程，研究室主任為吳新謀。偏微分方程是當時國內基礎十分薄弱而需重點發展的學科。1年以後，正當蘇聯專家來華講學之際，張同奉命響應全國幹部下放勞動的號召，於1957年12月下放農村勞動。8個半月後，在大躍進形勢下奉調提前回所。1960 年，因兩位進修教師期滿回校之需，吳新謀組織丁夏畦和張同與他們合作完成了關於常係數方程組橢圓性定義的論文。該文實際上只是玩了一點矩陣論，不料卻引出了華羅庚、林偉和吳茲潛之玉石之作。但不無遺憾的是，這卻是張同從1956至1962年6年間參加的唯一一項數學研究工作。

大躍進之後進入了困難時期，一切政治運動暫停。此前，原子彈及三峽大壩工程的研究部門分別向數學所提出了有關衝擊波及湧波的問題。這些問題都可以歸結為非線性雙曲型守恆律的間斷解研究。按照領導的安排，政審不能參加國防任務的張同和郭於法等4人組成一個小組，由張同任組長，自行研讀文獻，各自選題從事有關基礎理論研究。在調研中，張同被I.M.蓋爾範德（Gelfand）的文章《擬線性方程理論中的某些問題》中有關黎曼問題的論述所深深打動。

描寫氣體運動的基本方程是歐拉方程，它由質量、動量和能量3個守恆律組成，它的最大特點和困難在於解中會出現間斷現象，衝擊波就是一種壓縮性的間斷。1858年，黎曼緊緊抓住了間斷現象這一特點，提出並解決了歐拉方程一種最簡單的間斷初值問題（即初值為含有一個任意間斷的階梯函數），被後人稱為黎曼問題。黎曼構造出了它的4類解，它們分別由前、後向疏散波（記為和）和前、後向衝擊波（記為和）組裝而成，即（或）+（或），並利用相平面分析方法給出了此4類解的判別條件。黎曼的這一工作開創了微分方程“廣義解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有極大的超前性。黎曼用敏鋭的洞察力和巨大的原創力為非線性雙曲型守恆律的數學理論奠定了第一塊基石。1975年美國出版的《科學傳記詞典》中的《黎曼傳》稱，這一工作是“黎曼在數學物理方面最好的工作”。但由於黎曼所研究的是一個簡化模型（一維等熵流）而不為力學家們所接受。直到二戰期間，在原子彈及超音速飛行研究的推動下，應用數學權威R.柯朗（Courant）和K.O.弗里德里希斯（Friedrichs）才將黎曼的結果推廣到一維非等熵流，在前向波及後向波之間添加了一道接觸間斷（記為J，它是不同密度氣體的界面）。黎曼解被推廣為（或）+J+（或）。R，S和J統稱為歐拉方程的基本波。1962年，張同被這一工作的簡潔、優美和深刻所深深打動，毅然將黎曼問題選定為自己的研究方向，希望把黎曼的工作推廣到更一般的方程，甚至高維的情形。他在幾乎不被周圍人們理解和接受的情況下，興致盎然地走上了一條充滿挑戰的探索之路。

幾個月後，張同對蓋爾範德文中提出的未解決的問題悟出了一個富有幾何直觀的想法：用構造凸包的方法將歐拉方程中的凸函數推廣至非凸函數，從而巧妙地將黎曼的結果推廣至非凸方程的情形，並澄清了有關的熵條件。1963年張同在指導中國科技大學數學系首屆畢業論文時，這一想法演化成李才中、肖玲等4人的畢業論文。該工作進一步推廣完善後，由張同和肖玲聯名於1963年底投稿《數學學報》。遺憾的是該文直到1977年才以3頁的摘要在《數學學報》發表，而全文直到1981年才在美國Journal of Math.Anal.Appl.發表。當1984年張同首次出訪德國的海德堡大學時，聽眾們對凸包方法仍感到十分新鮮有趣。

與此同時，吳新謀指導的畢業論文小組曾試圖將黎曼的結果推廣至初值含有兩個間斷的情形，其實質是研究兩個黎曼解中所含的四道基本波的相互作用，該情形可劃分為16種子情形，其中只有（+）+（+）一種子情形獲得解決。在此基礎上，張同和郭於法找出了前向疏散、後向壓縮的一般初值，並用相平面分析方法，證明了整體解的存在性，以及初值所具有的前向疏散、後向壓縮性質對時間的不變性。這是歐拉方程整體間斷解存在性證明的第一個結果。1965年在《數學學報》上發表後，1967年至1975年間，後續性研究在美、蘇和我國先後出現，其中包括對方程和對初值的推廣以及惟一性的證明3個方面。在1985年丁夏畦、陳貴強和羅佩珠的著名工作出現以前，此文被視為我國在間斷解研究方面在國際上最有影響的工作，美國國家科學院P.拉克斯（Lax）院士曾稱其為“中國初值”。

1963年的大好工作形勢在1964年再次被政治運動所打斷，直至1972年才逐步恢復。1972年至1979年間，張同和肖玲、丁夏畦、王靖華、李才中共合作完成論文6篇，內容涉及凸與非凸的黎曼問題及波的相互作用。在這些工作中，他們以硬分析為工具，在相平面上深入地研究了R線和S線的幾何性質，發展了相平面分析方法，形成了自己的風格。1978年終於迎來了改革開放的新時代。中國科學院數學研究所45歲以下的研究人員大批被公派出國進修，而時年46歲的張同在國內繼續研究黎曼問題，並致力培養更年輕的一代。他曾去中科院研究生院講授數理方程，頗受歡迎。為了幫助青年學者儘快走向研究前沿，1983年張同和北大姜禮尚完全自發地在北京香山植物園聯合主辦了“偏微分方程暑期講習班”。當時國家基金委尚未成立，經費十分困難，幸好得到數學所微分方程研究室主任王光寅的大力支持，使得當時國內偏、微分方程學科的青年教師和絕大多數研究生得以參加，學員達80人之多。王光寅，姜禮尚和吳蘭成，張同和肖玲分別開設了3門課程，傳授自己的專長。結業考試後，選出了陳貴強、辛周平、吉敏和胡鋇4名優秀學員，分別在數學所和北大免費培訓。他們後來大都取得了十分優異的成就，成為國際知名學者。在辦班期間，張同既任負責人又授課，由於勞累過度，出現大便潛血，經醫院診斷為十二指腸潰瘍出血；但他仍堅持工作，直到講習班圓滿結束（此病遷延多年，8次出血，直到老年才痊癒）。由於講習班成效顯著，在許多高校要求下，連續辦了五屆。從第四屆起復旦大學李大潛也參加合辦。最後一屆在蘇州大學（姜禮尚時任蘇州大學校長），為期一學期，共開設了8門課。這5屆學員中不少人已活躍於國內、外的學術圈中。始料未及的是，學員中有5人先後成了張同的學生，在他的帶領下共同開創了對二維黎曼問題的系統研究。

在對一維問題進行了深入研究的基礎上，1984年張同開始考慮二維問題，和學生陳貴強合作完成了兩篇論文，一篇澄清了二維非線性雙曲型守恆律的一些基本概念，另一篇給出了二維衝擊波反射問題中出現正規反射的充要條件（它是對J.馮·諾伊曼（von Neumann）提出的有關判別法在數學上的精確化，二維衝擊波的反射問題可以看成是二維黎曼問題的一個特例）。

歐拉方程的二維黎曼問題是一個著名難題，在20世紀80年代甚至它的提法都有待澄清。1985年，張同和學生鄭玉璽研究了以下最簡二維模型（單個守恆律）的黎曼問題：

初值：u（x，y，t）當t=0時在（x，y）平面上的1至4象限分別為任意常數u1，u2，u3，u4。

當t＞0時，初值在原點發出的4條射線上的間斷，將生成四道平面基本波R或S。此問題的實質是研究這四道平面基本波如何相互作用，即要研究初值在原點的奇性當t＞0時如何演化。通過深入分析原點所引起的R和S的奇性，構造出了上述問題的5類解。它是二維黎曼問題研究的一個實質性的突破，1989 年發表於《美國數學會會刊》。彙集了張同與其學生和同事們1963至1986年間合作的有關工作，張同和肖玲聯名於1989年在英國朗文出版社著名的Pitman叢書中出版了專著《氣體動力學中的黎曼問題和波的相互作用》。兩年後，美、荷、德的數學家和力學家在《美國數學會公告》等雜誌上發表了4篇書評。J.斯莫勒（Smoller）在書評中寫道，“乍一看，人們可能會感到驚訝，整本書就貢獻給這樣一個很特殊的問題（指黎曼問題）？回答是：這個問題是整個非線性雙曲型守恆律領域中迄今最重要的問題。”其他書評還稱該專著可以認為是柯朗和弗里德里希斯1948年出版的名著《超音速流和衝擊波》的“有價值的補充”或“續篇”。

國門打開後，國際同行對張同的工作予以高度評價。春天終於來臨，1978年丁夏畦與張同等同獲《全國科技大會重大成果獎》；1983年張同與肖玲同獲《中國科學院二等成果獎》。

在1985年對單個守恆律的二維黎曼問題取得突破性的進展後，張同就轉向了歐拉方程的二維黎曼問題：

初值：（p，U，p）（x，y，t）當t=0時，在（x，y）平面上1至4象限分別為常狀態。

1986年9月根據中科院與美國國家基金會的有關協定，由美方提名，張同赴馬里蘭大學訪問劉太平教授半年。期間張同訪問加州伯克利時，與前學生鄭玉璽一起對解決上述問題提出了以下的分析和猜想：

（1）初值在原點發出的4條射線上間斷，每條初始間斷線在t＞0時發射出3道平面基本波（或）+J+（或）。這12 道波在（x，y，t）空間中將在一個以原點為頂點的錐體中相互作用。為了使問題簡化而又不失實質，他們引進了假設：每條初始間斷線在t＞0時只發射出一道平面基本波。這樣問題就簡化成四道基本波的相互作用。

（2）根據四道波的不同組合，將問題分成16類。（3）利用他們自創的廣義特徵分析方法，對每類都找出了相互作用錐的邊界，它們由若干固定邊界（特徵面、音速面）和/或自由邊界（衝擊波面）組裝而成。錐外的解為超音流動，由初值的4個常狀態和四道平面基本波構成；錐內為待求的跨音流動。

（4）對錐內的解的結構（衝擊波、滑移面、音速面和漩渦如何分佈與組裝）提出了一套猜想，它包括了氣體的膨脹、衝擊波的反射及漩渦的形成等結構。猜想中提出了跨音流動中若干新的定解問題。

總而言之，一維黎曼問題澄清了守恆律的基本波，而二維黎曼問題則揭示出這些基本波在跨音流動中相互作用所形成的各種基本流場結構。

此套猜想於1987年5月在伯克利舉行的有關會議上宣佈後引起強烈反響。會議主持人美國國家科學院J.格利姆（Glimm）院士在次年發表的綜述性文章中稱：“一套完整的猜想已經形成”。1990年“猜想”以38頁的篇幅在美國發表。後續性的工作有以下三方面：

A.完善分類：根據漩度的符號將滑移面分為兩類（J+，J-）舒爾茨—裏恩（Schulz-Rinne），拉克斯和劉旭東，張同、陳貴強和楊樹禮將分類最終完善為19類。其中主要的6類（四道R，四道S和四道J各兩類）都包含在原來的分類中。

B.數值實驗：從1993到2002年舒爾茨—裏恩，科林斯（Collins）和格萊茲（Glaz），拉克斯和劉旭東，張同，陳貴強和楊樹禮，庫爾幹諾夫（Kurganov）和塔德莫（Tadmor）分別用4種完全不同的計算格式對猜想做數值實驗，計算結果完全相同，與猜想基本相符。

C.嚴格證明：嚴格證明極其困難。從1986年起，張同先後帶領他的9位學生從簡化模型入手，逐步向歐拉（Euler）方程逼近，主要進展如下：

C1.最簡模型（單個守恆律）已完全解決。除前述與鄭玉璽合作的工作外，張同與張朋在進一步考查初值為3片常數的情形時，發展了廣義特徵方法，得到了衝擊波相互作用時出現類馬赫反射的充分必要條件。19世紀馬赫在實驗室中發現了馬赫反射，馮·諾伊曼（von Neumann）曾給出過一個出現馬赫反射的判別條件，至今有關的實驗及數值模擬研究結果無數，但數學上嚴格的證明尚無。此結果可以認為是向這一難題邁出的第一小步。

C2.根據力學的啓示，李蔭藩和曾亦明於1985年在進行計算方法研究時曾將歐拉方程可拆分為零壓流方程（反映慣性效應）和壓差流方程（反映壓差效應）：

張同等進一步澄清了前者的基本波為J±，後者的基本波為R±和S±。前者的黎曼問題已由張同、盛萬成、李傑權和陳紹仲完全解決。其中主要結果於1999年被收入《美國數學會專題報告》系列中。有意義的是一類新的非線性波一Dirac-Delta衝擊波出現在J+和J-的相互作用中，它由密度的Delta函數支撐在衝擊波面上而構成，描述了質量在低維流形上的集中現象。（最有趣的是此一新現象在歐拉方程的數值實驗中也有所反映，Delta衝擊波在亞音流中被磨光成smoothed delta波。）此前，這類新的非線性波由張同、譚得春和楊樹禮在研究一個非物理的守恆律組時發現，除澄清了它出現的數學機制及傳播規律外，還證明了它對粘性擾動的穩定性。關於Dirac-Delta衝擊波的研究至今不斷。

壓差流為跨音流，共分12類。在超音光滑解的範圍內，張同和戴自換髮現了方程的一種“特徵分解”，進而證明了靜止氣體向真空的膨脹（第一類情形的極端情況）存在超音解，它不含間斷，波的相互作用錐的邊界由特徵和真空構成。

C3.歐拉方程：20世紀五六十年代蘇美學者曾考慮過靜止氣體向真空的膨脹，但問題遠未解決。1999年張同的前學生李傑權，經過數年的探索，十分巧妙地找到了一組黎曼不變量，將非性雙曲型方程組變換成線性退化雙曲型方程組，從而圓滿解決了該問題，終於跨出了嚴格證明“猜想”的第一步，這是高維歐拉方程非軸對稱解大範圍存在性的第一個證明。

還應該提及的是，張同和鄭玉璽曾將4片常狀態的初值推廣為無窮多片常狀態，而考慮歐拉方程的軸對稱解，將問題歸結為一個三維動力體系的奇點連接問題。不同於有關經典理論，此時軌道可通過間斷（衝擊波）來過渡。他們經過精細分析將問題完全解決，共構造出5類解，其中包含了漩渦、真空、衝擊波、疏散波及常狀態的不同組合，並找到了一個漩渦的精確解。

1996年，張同與楊樹禮聯名申報中國科學院自然科學獎時，所長龍瑞麟寫信徵集美國國家科學院J.格利姆（Glimm）院士（2004年獲美國國家科學獎章）的評議意見。格利姆在回信中寫道：

“張教授關於氣體動力學中二維黎曼問題的工作，在國際學術圈中定義和領導了一個極其重要的研究方向。我認為二維黎曼問題是非線性守恆律研究中最重要的理論問題。張教授對此問題已經做出了權威性的（definitive）貢獻。他的工作是原創性的純理論的，之後被補充以數值計算的研究。”

“張同教授的主要成就是對全部二維黎曼解給出了一套內容豐富的圖像，這些圖像遠遠超過了人們過去的認識，並引發出廣為傳播的興趣。”

是年，張同和楊樹禮同獲中國科學院自然科學獎二等獎。1984年以來張同曾多次應邀赴美、德、法、日、台、港、澳開展合作研究、進行學術訪問、參加國際會議。1989年8月在日本召開的“非線性偏微分方程及其應用研討會”上做90分鐘邀請報告。1998年12月在北京召開的“第一屆世界華人數學家大會”上做45分鐘邀請報告。

張同和他的9位學生在1986至1998年間的有關工作彙集成一本專著《氣體動力學中的二維黎曼問題》，它也被收入了英國朗文出版社著名的Pitman叢書中，於1998年出版。2000年，美國數學會的《數學評論》雜誌上發表的書評中稱這一研究羣體為“中國學派”。

2004年張同和李傑權、張朋同獲北京市科學技術獎一等獎。

1986年，張同和鄭玉璽完成了論文《氣體燃燒理論的黎曼問題》，美國《微分方程雜誌》的審稿意見稱：“此文給出了具反應項的一維氣體動力學方程黎曼問題第一套完整的解。此問題於1945年由柯朗和弗里德里希斯基本上按同樣的形式提出，並給出了一個特解。直到此文出現之前，人們關於這個問題的認識差不多一直停留在那個狀態。……它是一個巨大進展，且肯定會給此題目的研究帶來嶄新的面貌。……一個重要的問題……確實是一次有價值的努力。”此後，張同在1988年美國數學會和美國工業及應用數學會聯合主辦的《夏季討論會》上對此問題提出了一套全面的構想：考慮了反應速度從有限（ZND）到無限（CJ）；粘性從有到無，方程從最簡模型到氣體動力學。經過他與合作者的不斷努力，已完成論文6篇。對最簡模型這套構想已基本得到證明，對氣體動力學方程也取得了一些實質性進展。

張同性格開朗，待人真誠；淡泊名利，甘於寂寞；堅持探索，獨創一派。他帶領學生們經過40年的不懈努力，終於在一個重要的難題上開創出一條新路。他曾説：“我喜歡數學就像我喜歡音樂一樣，都是為了追求世上的美”。他總是陶醉於數學和音樂的美好境界之中，快樂地與學生們一起做着他們自己的數學，也品味着人生。他還説：“中國數學界有許多人比我聰明，比我用功，我非常佩服他們。就我個人而言，只是很幸運地來到了數學所這塊寶地，很幸運地選了一個好題目，把精力都集中到了這個小小的領域中，形成了一點特色而已，它的真正的價值還有待時間的考驗。”“這個題目的攻堅戰才剛開始，我最大的願望是能有青年人把我們找到的這條路堅持走下去，勝利正在向他們招手”。

1932年12月9日 出生於重慶興隆巷。

1950-1951年 解放軍二野十一軍三十一師文工隊隊員。

1952-1953年 在重慶大學數學系學習。1953-1956年 在四川大學數學系學習。

1956年9月 中國科學院數學研究所任研究實習員；1962年4月任助理研究員；1979年3月任副研究員；1986年6月任研究員、博士生導師。

1998年5月 退休、返聘。

1 柯召，張同.矩陣代數的反自同構.四川大學學報，1956，2：41-48

2 丁夏畦，馬汝念，王康廷，張同.二階常係數偏微分方程橢圓性的定義.科學記錄，1960，4：126-128

3 張同，郭於法.空氣動力學方程的一類初值問題.數學學報，1965，15：386-396

4 Ding Xia-Qi，Zhang Tong，Wang Ching-Hua，Hsiao Ling，Li TsaiChung. A study of a global solutions for quasilinear hyperbohc system of conservation laws. Sci. Sinica, 1973, 16: 317—335

5 張同,李才中,肖玲,非凸典型擬線性雙曲組的一類初值問題的整體解.科學通報,1975,11:506—507

6 張同,李玲.非凸一維絕流的黎曼問題.數學學報,1979,22:719—732