引力場方程

最終，從廣義相對性原理與等效原理出發，愛因斯坦在1915年得到了正確的引力場方程，並在1916年發表了論文《廣義相對論基礎》。 ^[2] 

愛因斯坦場方程

説明：這是一個二階張量方程，

為裏奇張量表示了空間的彎曲狀況。

為能量-動量張量，表示了物質分佈和運動狀況。

為度規，意義：空間物質的能量-動量（

）分佈=空間的彎曲狀況（

）解的形式是：

，式中A,B,C,D為度規

分量。考慮能量－動量張量

的解比較複雜。最簡單的就是讓

等於0，對於真空靜止球對稱外部的情況，則有史瓦西外解。如果是該球體內部的情況，或者是考慮球體軸對稱的旋轉，就稍微複雜一點。

含宇宙常數項的場方程

説明：式中及以下的λ是宇宙常數，其物理意義是起到斥力作用的負壓強場。考慮真實宇宙的各向同性解R-W度規，靜態與物質條件不相容，即不存在一個靜態的滿足宇宙學原理（均勻且各向同性）的解。如果增加宇宙常數項，選取適當的Λ值，就可以得到靜態宇宙度規。如果從物理意義上理解的話，把宇宙常數項移到式右邊，則是：

，Λ項為負值，寫開能動張量可以發現Λ項相當於在能動張量裏引入了負壓強的物質，即起到了斥力的作用，可以平衡掉物質的萬有引力從而得到靜態解。 ^[2] 

愛因斯坦場方程的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來説，電磁學的麥克斯韋方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛定諤方程，對於概率波函數也是線性的。而場方程，對於待求量度規張量的二階導數是線性的，對度規的一階導數卻是二次的。

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程退化為牛頓重力定律。事實上，場方程中的比例常數是經過這兩個近似，跟牛頓重力理論比較後得出。

愛因斯坦場方程如下所示：

其中

是愛因斯坦張量；

是從黎曼張量縮並而成的裏奇張量，代表曲率項，表示空間彎曲程度；

是從裏奇張量縮並而成的曲率標量；

是度規張量；

是能動張量，表示了物質分佈和運動狀況；

是萬有引力常數；

是真空光速。

整個方程的意義是：空間物質的能量-動量分佈決定空間的彎曲狀況

這個方程是一個二階非線性張量方程 ^[2]  。

張量是一個定義在一些向量空間及其對偶空間的笛卡兒積上的多重線性映射，其分量個數是n維空間內n的階數次方個數，其中每個分量都是座標的函數， 而在座標變換時，這些分量也依照某些規則作線性變換 ^[3]  。

張量之所以重要，在於它可以滿足一切物理定律必須與座標系的選擇無關的特性。這也是為相對論研究時空下的不變性做了基礎數學奠基。張量概念是矢量概念的推廣，矢量是一階張量。

零階張量 （r = 0） 為標量 ，第一階張量 （r = 1） 為矢量 ， 第二階張量 （r = 2） 的分量可以排布成矩陣的形式 。

從代數角度講， 它是向量的推廣。眾所周知，向量可以看成一維的“表格”（即分量按照順序排成一排），矩陣是二維的“表格”（分量按照縱橫位置排列）， 那麼n階張量就是所謂的n維的“表格”。張量的嚴格定義是利用線性映射來描述的。與矢量相類似，定義由若干座標系改變時滿足一定座標轉化關係的有序數組成的集合為張量。

愛氏理論的建立也得益於張量分析的發展，廣義相對論完全由張量語言表述，可以這樣説，沒有張量語言的發展，愛氏的彎曲時空理論，就缺乏描述工具，不能建立。

愛氏的場方程是一個非線性二階張量方程，用黎曼幾何來描述時空背景。

黎曼幾何屬於(廣義)非歐幾里得幾何，一般認為存在兩種黎曼幾何:(1)黎曼1854年《論奠定幾何學基礎的假設》中所提出的幾何學，其主要研究對象是通過在微分流形上引入黎曼度量所得到的黎曼流形。(2)修改歐幾里得幾何第五公設所得到的非歐幾何的一種，其背景空間是正數常曲率空間，一個典型例子就是三維空間中的球面，例如地球表面。 ^[4] 

實際上它是歐氏幾何的發展。歐氏幾何把認識停留在平面上，所研究的範圍是絕對的平的問題，認為人生活在一個絕對平的世界裏。因此在平面裏畫出的三角形三條邊都是直的。兩點之間的距離也是直的。

但是假如人們生活的空間是一個雙曲面，這個雙曲面，可以把它想象成一口平滑的鍋或太陽罩，我們就在這個雙曲面裏畫三角形，這個三角形的三邊的任何點都絕對不能離開雙曲面，我們將發現這個三角形的三邊無論怎麼畫都不會是直線，那麼這樣的三角形就是羅氏三角形，經過論證發現，任何羅氏三角形的內角和都永遠小於180度，無論怎麼畫都不能超出180度，但是當把這個雙曲面漸漸展開時，一直舒展成絕對平的面，這時羅氏三角形就變成了歐氏三角形，也就是我們在初中學的平面幾何，其內角和自然是180度。

黎曼幾何作為非歐幾何的一種,它與羅巴切夫斯基幾何相比，有着實質性的不同。羅氏幾何主要工作是建立了一整套區別於歐幾里得的《幾何原本》的邏輯體系； 而黎曼幾何的核心問題是以微分幾何為基礎,建立曲線座標系中的微分方法。

羅氏幾何是第一個被提出的非歐幾何學，它的基本觀點是： 第一,第五公設不能被證明; 第二，可以在新的公理體系中展開一連串推理,得到一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，形成新的理論。

羅氏幾何學的公理系統區別於歐式幾何學之處,僅僅是把歐式幾何平行公理改為: 從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行。黎曼幾何與羅氏幾何的平行公理相反： 過直線外一點,不能做直線和已知直線平行。也就是説，黎曼幾何規定: 在同一平面內任何兩條直線都有公共點,黎曼幾何學不承認存在平行線。

很自然就有另一條公設： 直線可以延長至任意長度，但長度是有限的,這可以類比為一個球面。黎曼幾何是通過微分幾何的途徑建立起來的，因此與羅氏幾何根本不同。

黎曼幾何學的公理體系引進了一種彎曲的幾何空間(它可以通過拉梅引進的曲線座標系描述),黎曼在構想這種幾何學的時候，就想設法建立起相應的代數結構。這個目標黎曼本人沒有實現,但沿着他開闢的道路，克里斯托費爾和裏奇完成了新幾何學的構建。換句話説,張量分析構成了黎曼幾何學的核心內容。

這表若干方面:

3. 黎曼空間的平行定義為標積保持不變(即與曲線的夾角保持不變),依賴克里斯托費爾符號；

4. 黎曼空間的直線(短程線)方程的建立依賴協變微分。正因為有了張量分析這個工具，黎曼幾何才獲得了類似於微積分一樣的計算功能,從而擺脱了停留在邏輯構造層面上的束縛，從根本上與微分幾何實現了傳承,並實現了微分幾何從直線座標系到曲線座標系的進步，使得幾何學與代數學更緊密地聯繫起來。