廣義遞歸論

有窮類型對象如下定義：自然數稱為0型對象。由型對象到自然數集的全函數稱為+1型對象。一型對象的計算相當於有一個執行機械過程的機器，對輸入數後可得到輸出=()。二型對象(,)的計算相當於上述機器外加上一個外部信息源即 的圖形。對輸入，,對輸入的計算時，常要問機外信息源對某個變目的值,根據值的不同而依不同的步驟進行計算,最後給出輸出=(,)。上述兩類計算都是有窮步內完成的計算。三型對象(,,)的計算相當於上述機器外加上兩個外部信息源即的圖形(基數為0)和 的圖形（基數為2[276-111]）。對輸入 的計算時要問到對某變元的值,和問到對某變元的值。在問到對變元的值時要計算的圖形,因此此時的計算不再是有窮步內可停止的計算了。相仿地可有更高類型對象的計算。

還可以把遞歸論推廣到序數上去。最初是用集合論的工具，如降S-L定理,推廣到一切序數上去。後來發展為推廣到序數的某些前節上去。最主要的是推廣到可允許序數上去，稱為－遞歸論。當＞後出現了許多-遞歸論中不存在的現象，例如有界和有窮不再是相同的概念了，這就使-遞歸論的證明大大地複雜了。　 -遞歸論的某些結果可以推廣到一切可允許序數上去，例如波斯特問題的解決。有些結果只在某些可允許序數上成立，而在另一些可允許序數上不成立，如極大集的存在性定理。再如當＞後，以下-度的結構和以-度的結構不同構。