廣義解析函數

廣義解析函數(generalized analytic function)是解析函數的推廣。指標準化的一階橢圓型方程組 ^[1] 

在平面區域D內的連續解，以上方程組還可寫成復形式的方程

其中

韋誇(И.И.Векуа)和伯斯(L.Bers)各自獨立地建立了系統的廣義解析函數理論。20世紀50年代，亞音速、超音速飛機的研製，推進了廣義解析函數的發展，伯斯用

內兩個連續可微的函數

分別代替複數表示中的1，i，並要求

滿足條件

而D內任一連續可微函數

均可表示成

這裏φ(z)，ψ(z)都是D內實值函數，如果對D內的任一點z，極限

存在，則稱

按

在點z存在微商

，並稱

為D內的第一類準解析函數，

是D內第一類準解析函數的充分必要條件是：

在D內滿足複方程(2)，其中

還可以證明：

在D內滿足複方程

並稱

為D內的第二類準解析函數，這兩類準解析函數有着不同的性質，對於非常數的第二類準解析函數，保持區域定理是成立的，而對於第一類準解析函數，保持區域定理不一定成立。設

是區域D內廣義解析函數或第一類準解析函數，則必存在D內解析函數

與

上的連續函數

，使得

這個定理稱為相似原理。有了這個原理，使得關於解析函數的許多性質，可轉移到廣義解析函數上來，如積分和級數理論、孤立奇點的分類、惟一開拓性、函數序列的凝聚原理及龍格逼近定理等。類似於解析函數，對於複方程(2)，也有各種邊值問題的可解性結果等，如黎曼邊值問題和黎曼-希爾伯特邊值問題，這些邊值問題在力學、物理學中有重要應用。

方程組(1)和複方程(2)可推廣到一階線性一致橢圓型方程組和一致橢圓型複方程

其一致橢圓型條件為

這裏q₀是非負常數，特別地，當

時，(8)就是複方程(2)，其中

對於多個自變量的情況，在克利福德代數的基礎上，建立了相應於單複變函數的一些理論，以三個實自變量的情況為例，用

，表示克利福德代數的基，其中

設D是三維歐氏空間R³中的區域，D內的點

可寫成

而

又D內的函數

可表為

這裏用e₄表示e₂e₃，定義運算

顯然

區域D內的正則函數

是指滿足方程組

，即

的連續函數

，又廣義正則函數是指D內滿足方程組

的連續函數

，其中 ^[1]