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廣義傅里葉級數
鎖定
廣義傅里葉級數(generalized Fourier series)是特殊的
正交級數,函數f(r)在區間[0,a]上具有二階連續導數,則f(r)可以展開成以
貝塞爾函數為基的廣義
傅里葉級數
[1]
。
- 中文名
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廣義傅里葉級數
- 外文名
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generalized Fourier series
- 所屬學科
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數學
- 簡 介
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一種特殊的正交級數
- 相關概念
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貝塞爾(Bessel)函數
廣義傅里葉級數基本介紹
對於定義在區間[-1,1]上的具有二階連續導數的函數f(x),當它與P
l(x)
[3]
具有相同的邊界條件時,可按P
l(x)展為絕對且一致收斂的級數,
稱之為
廣義傅里葉級數。{P
l(x)}可以看作廣義傅里葉級數展開的基,這説明勒讓德多項式(P
l(x))是完備的
[2]
。
在式(1)兩端乘以Pk(x)並在區間[-1,1]上積分,利用正交歸一性,得
如果將變量x換回θ,則式(1)和式(2)變為
廣義傅里葉級數例題解析
【例1】以勒讓德多項式為基,在[-1,1]上將函數
展為廣義傅里葉級數。
解:這裏我們當然可以按照式(1)和式(2)將f(x)展開,但是由於f(x)是比較簡單的三次多項式形式,應該可以表示為P
0(x),P
1(x),P
2(x)和P
3(x)的線性組合,從而可以利用
待定係數法確定廣義
傅里葉係數,不妨設
[2]
- 參考資料
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1.
數學辭海編輯委員會.數學辭海·第一卷:中國科學技術出版社,2002.08
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2.
王培光等.數學物理方法 工科用:清華大學出版社,2012.12:第153頁
-
3.
趙佩主編. 數學物理方法[M]. 西安:西北大學出版社, 2020.08.293