廣義傅里葉級數

對於定義在區間[-1，1]上的具有二階連續導數的函數f(x)，當它與P_l(x) ^[3]  具有相同的邊界條件時，可按P_l(x)展為絕對且一致收斂的級數，

稱之為廣義傅里葉級數。{P_l(x)}可以看作廣義傅里葉級數展開的基，這説明勒讓德多項式(P_l(x))是完備的 ^[2]  。

在式(1)兩端乘以P_k(x)並在區間[-1，1]上積分，利用正交歸一性，得

於是，得廣義傅里葉係數

如果將變量x換回θ，則式(1)和式(2)變為

【例1】以勒讓德多項式為基，在[-1，1]上將函數

展為廣義傅里葉級數。

解：這裏我們當然可以按照式(1)和式(2)將f(x)展開，但是由於f(x)是比較簡單的三次多項式形式，應該可以表示為P₀(x)，P₁(x)，P₂(x)和P₃(x)的線性組合，從而可以利用待定係數法確定廣義傅里葉係數，不妨設 ^[2] 

比較兩端係數，得

於是，

因此，