庫拉托夫斯基定理

最常見的就是佈線問題。一個複雜的網絡能否布在平面上而又不自相交叉？做印製電路時自然會碰到這個問題。有的圖把一條對角線移到方形外面就可以布在平面上。但有的圖卻無論怎樣移動都不能布在平面上。1930年K·庫拉托夫斯基證明，一個網絡是否能嵌入平面，就看其中是否不含有k5或k3,3兩個圖之一。

判斷一個圖是否為平面圖是一件困難的事。通常我們可以採用直觀的方法，即：在圖中找出一個長度儘可能大的且邊不相交的圈；然後將圖中那些相交於非結點的邊，適當放置在已選定的圈內側或外側，若能避免除結點之外邊的相交，則該圖為平面圖，否則便是非平面圖。

例如，K5不是平面圖，因為無論如何畫都不能使其所有邊不相交。

如果兩個圖中的一個圖是由另一個圖的邊上插入一些新的頂點得到的，則稱這兩圖同胚。

波蘭數學家庫拉托夫斯基（Kuratowski）在1930年給出了判定一個圖是平面圖的這個充要條件。這個定理證明太複雜，一般教材僅介紹不證明。一個圖是平面圖的必要充分條件是, 它不包含任何同胚於K5或K3,3的子圖。

Kuratowski定理的實際應用較困難。

庫拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski，1896年2月2日－1980年6月18日），波蘭數學家。他主要研究點集拓撲學和集合論。

庫拉托夫斯基的父親是華沙的著名律師。當時華沙受俄羅斯統治，進入當地大學必須經過俄語的考試。庫氏沒有就讀俄語中學，決定到蘇格蘭學習工程。1913年10月，他進入了格拉斯哥大學，那年他得了班內的數學獎。1914年，他回到波蘭度假，不料第一次世界大戰暴發，他便沒有回格拉斯哥。1915年11月，俄軍撤出華沙，華沙大學改用波蘭語，庫氏選擇修讀數學。

在大學內有幾個教授對庫氏影響很深：博士論文導師Janiszewski和Mazurkiewicz、瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基、Lukasiewicz。前三位都研究當時很新鮮的領域拓撲學。最後者研究數理邏輯，他的研討會啓發了庫氏的第一篇論文（1917年）。1927年被聘為利沃夫工業大學（Politechnika Lwowska）教授，1934年起任教於華沙大學。