幾何學講義

巴羅是牛頓(Newton , I.)的老師，他最先承認牛頓的天才，並於1669年將路卡斯教授席位讓給牛頓.牛頓於1664-1665年聽過巴羅關於本書內容的講授，並幫助巴羅準備講義.

《幾何學講義》共有13講.在前5講中他定義了度量一切運動的時間的流動變量.之後，考慮了通過結合運動的點和直線而產生的曲線的性質.在第6-12講中，敍述了他對前人工作的系統推廣和他自己的新發現，其中包括笛卡兒(Descartes , R. )、沃利斯(Walks, J. )、費馬(Fermat , P. de )、惠更斯(Huygens,C. )、帕斯卡(Pascal , B.)等人的工作.內容涉及求切線、面積、曲線的長等問題.第13講是與前面沒多大關係的內容—關於方程的幾何作圖法.巴羅的講義通篇採用古典的幾何觀點來處理切線問題和求積問題，而不是像沃利斯那樣採取分析的方法.例如他把曲線的切線定義為同曲線僅在一點切觸的直線.但他給出了通過計算求切線的方法，並認為這種方法比前人的方法“更有利、更一般”(第10講).在此過程中，他利用了微分三角形或特徵三角形.他從PR62出發，利用△PRQ相似於'NLTP的事實，斷定切線的斜率一QR/PR = PM!_TN.巴羅認為，當弧PP'足夠小時，就可以把它和P點切線上的一段PQ等同起來，從而用特徵三角形PRP'代替三角形PRQ.再利用曲線的方程，捨棄掉較小量的高次冪，便求得曲線在屍處切線的斜率.實際上，巴羅是把切線看作當增量PR趨於零時割線PP‘的極限位置，並通過忽略“高階無窮小”的方法來取極限.更重要的是，他在該書的第10講中給出了表明曲線的切線問題和求積問題之間的互逆關係的一個重要定理.這是對微積分基本定理的最早認識.但可惜的是，他只是在古典的幾何意義下處理該問題，而沒有側重於新的計算方法和計算程序，而這才是發明微積分的關鍵.雖然巴羅被有些學者認為是微積分的發明者，但巴羅本人並沒有認識到他的這一“基本定理”，能為“以獨特計算法為其特徵的一門新科學”奠定基礎，這被作為説明“發現”與“認識到重要意義”之間的明顯區別的一個極好實例.但無論如何，他的發現為最終創立微積分做出了積極貢獻.巴羅也因此成為微積分前史中的重要人物之一