幾何公理

首先較系統地採用公理的是歐幾里得(Euclid). 1899年，希爾伯特(Hilbert , D.)發表了《幾何基礎》一書，提出了一套嚴格的幾何公理體系—希爾伯特公理體系 ^[1]  。它包括八個基本概念和五組公理，分別是結合公理，順序公理，合同公理，平行公理和連續公理。現今説的歐氏幾何公理通常就指這五組公理。除此以外，還有羅氏幾何的公理，射影幾何的公理，仿射幾何的公理等.不同的公理產生不同的幾何學，都稱為“公理法幾何”。

在希爾伯特幾何裏面，其實點直線和平面是三個未定義的數學對象，在上面給的最基本的關係也是沒有定義的，也就是説用什麼來代表這些東西都是可以的，正如希爾伯特所説“我們必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’來代替‘點、線、面’”。最簡單的例子就是解析幾何：我們定義點是實數對(x,y)，定義線是，其實在這個定義下，“幾何”已經失去了“直觀”的形式了，因為在這個定義下的幾何圖形就變成了毫無幾何直觀的數字了，只是我們方便研究又將它畫在了座標系中而已。

總之，希爾伯特幾何，就是將直觀地幾何語言（歐氏幾何）抽象成了邏輯語言，我們所有的幾何定理都可以用邏輯推理得到。

公理I：關聯公理

公理II：順序公理

公理III：合同公理

公理IV平行公理

公理V連續公理