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平面把

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平面把(bundle of planes)亦稱平面叢，是一種空間圖形，空間一定點的所有平面組成的集合稱為平面把。這個定點稱為平面把的中心，另一種平面把是平行於同一條直線(或説此直線的方向)的全體平面的集合，在把方向看做它所指的無窮遠點後，不妨認為這種平面把是通過同一個無窮點的全體平面的集合 [1]  。
中文名
平面把
外文名
bundleofplanes
所屬學科
數學
所屬問題
立體幾何
別    名
平面叢

目錄

  1. 1 平面把的定義與方程
  2. 2 關於平面把的定理

平面把平面把的定義與方程

通過一點的所有平面的集合稱為平面把，這一點稱為平面把的中心 [2]  。
具有一共同性質的所有平面的集合，稱為平面族。通過一定點的所有平面的集合稱為平面把，定點稱為平面把的中心；通過一定直線的所有平面的集合稱為平面束，定直線稱為平面束的軸，平面把與平面束又統稱為平面族。
容易證明， 以一點
為中心的平面把方程為
其中A、B、C是不全為零的任意數。
設方程
表示三個相交於一點的平面，則方程組(2)有唯一解，所以

平面把關於平面把的定理

如果平面把的中心是(2)所表示的三個平面的交點，則有下面的定理 [2]  。
定理 以三個相交於一點的平面(2)的交點
為中心的平面把的方程是
其中λ、μ、v為不同時為零的任意數。
證明： 1)方程(4)可改寫為
(5)中x、y、z的係數不全為零， 否則得
這和假設矛盾，故(5)表示一個平面 [2]  。
2) 這個平面顯然通過三平面的交點
。
3) 設π是通過三平面(2)的交點
的任意一個平面，它的方程為
因為
是三平面(2)的交點，故(2)可改寫為
即
若平面π可用(8)表示，則
因為
故由(9)可唯一確定
，並且
不全為零，否則A=B=C=0，以解得的
的值代入(8)，得到的方程就表示平面π。
從以上討論可知，(4)是 以
為中心的平面把方程。
有一些求平面方程的問題，利用平面束或平面把的方程來解，比較方便 [2]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第一卷：中國科學技術出版社 ，2002-08
  • 2.    豐寧欣 孫賢銘 郭孝英 李中林 吳少華．空間解析幾何：浙江科學技術出版社，1982年12月第1版：第126頁