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平方和公式
鎖定
此公式是馮哈伯公式(Faulhaber's formula)的一個特例。
- 中文名
- 平方和公式
- 外文名
- Sum of Squares
- 適用範圍
- 數學
- 類 別
- 公式
平方和公式公式
利用此公式可求得前n項平方和為：
n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 |
1 | 1 | 6 | 91 | 11 | 506 | 16 | 1496 | 21 | 3311 |
2 | 5 | 7 | 140 | 12 | 650 | 17 | 1785 | 22 | 3795 |
3 | 14 | 8 | 204 | 13 | 819 | 18 | 2109 | 23 | 4324 |
4 | 30 | 9 | 285 | 14 | 1015 | 19 | 2470 | 24 | 4900 |
5 | 55 | 10 | 385 | 15 | 1240 | 20 | 2870 | 25 | 5525 |
n=26，27，28，29......時
前n項平方和為：6201, 6930, 7714, 8555, 9455,
10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140,
平方和公式證明方法
證法一 （歸納猜想法）：
1、
時，
2、設
（k為正整數） 時，公式成立，即
則當
時，
也滿足公式。
根據數學歸納法，對一切自然數n有
成立。
證法二 （利用恆等式
）：
…………
求和得：
由於
（可由倒序求和得到）,
代入上式得：
整理後得：
證法三 （排列組合法）：
由於
，
因此有
=
由於
，
，
於是有
證法四 （拆分，直接推導法1）：
求和得：
因為前n項平方和與前n-1項平方和差為n²
代入(*)式，得：
證法五（拆分，直接推導法2）：
1²=1
2²=1+ 1+1·2
3²=1+ 1+1·2+ 1+2·2
...
（n-1）²= 1+1+1·2+1+2·2+......+1+（n-2）·2
n²= 1+1+1·2+1+2·2+...+1+ (n-1)·2
=1 + (1+1·2) +（1+1·2+1+2·2）+...+ [1+1+1·2+...+(n-1)·2]
=(1+1+1+...+1){n個} +(1+1+1+..+1){(n-1)個}+(2·1)(n-1)+...+1+2(n-1)
=[n+(n-1)+(n-2)+...+1]+[2(n-1)+2(n-2)+...+2n]-[2·1²+2·2²+...+2·(n-1)²]
=n(n-1)/2+2n[(n-1)+(n-2)+...+1]-2[1²+2²+...+(n-1)²]
得到：
所以，
- 參考資料
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- 1. The first few square pyramidal numbers ．OEIS[引用日期2016-04-25]
