平均絕對離差

平均絕對離差(mean absolute deviation)是用樣本數據相對於其平均值的絕對距離來度量數據的離散程度。平均絕對離差也稱為平均離差(mean deviation)。平均絕對離差定義為各數據與平均值的離差的絕對值的平均數 ^[1]  。

設樣本的n個觀測值為

，平均絕對離差為：

對於分組數據，平均絕對離差為：

其中

分別為第

組數據的頻數及組中值，

為數據分組的組數。

例1設有數據：1920，1700，1250，1150，1090，1041，1020，980，950，900，870，計算可得中位數仍為1041，IQR=1250—950=300。Q₁、Q₃、IQR的結果。從數據的散佈情況看，該組數據集中於中位數的周圍。 ^[1] 

解：對於例1所示的數據，由式(1)計算，可得：

。

與此相近的還有一種叫“平均差”的尺度，其定義為各變數與樣本的中位數差的絕對值的平均數。

例2某縣黃牛的胸圍記錄是138.7，147.7，149.4，150.4，151.7cm，這時它們的中位數

，平均差可用下式求出：

平均差、方差和標準差運用了全部觀測值，與極差和IQR相比，在方法上做了一定的改進。但相對而言，平均絕對離差用得較少，在應用中用的較多的是方差和標準差，以便於估計總體的方差和標準差 ^[1]  。

平均離差作為散佈特徵，其含義直觀且便於理解，但是因含絕對值而不便於計算。此外，平均離差用於統計推斷時，其統計性質也遠不如標準差優良，因此在統計推斷中，平均離差比標準差用得較少，這裏指出如下兩條性質：

(1)對於任意常數c，有

其中

是中位數 ^[2]  。

(2)平均離差可以按如下公式計算：