帶餘除法

任意非零多項式

除

，其商式餘式一定存在，且餘式是惟一滿足關係式

的零多項式，或次數小於

的一個多項式。 ^[1] 

多項式除以多項式一般用豎式進行演算

（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，並把所缺的項用零補齊；

（2）用被除式的第一項除以除式的第一項，得商式的第一項；

（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項，把不相等的項結合起來；

（4）把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續演算，直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止。被除式=除式×商式+餘式。如果一個多項式除以另一個多項式，餘式為零，就説這個多項式能被另一個多項式整除

例如：計算

解：

所以，

， 其中，商式是

，餘式是

顧名思義，輾轉相除法就是反覆進行帶餘除法。它以帶餘除法為基礎，是用以求兩個多項式

、

的最大公因式

的一種計算方法。 ^[1] 

它的理論依據是：若

，則有

例如，對於任意的整數

（

），且

，求

的最大公約數

，

，

，

用一次多項式

去除多項式

，即

，其中

例：一個多項式

，當它能被

除時餘式為 3 ，被

除時餘式為

，則當

被

除時餘式為何? ^[1] 

解：依題意，有：

(1)

(2)

把

代入(1) 式中，

，得

把餘數定理逆過來用，當用

去除

時，由於

，有

(3)

將(3)代入(1)中，

即

被

除餘式為

理論依據 ^[1]  是：

例：用帶餘除法求當

為何值時，

解：作帶餘除法。

除

的餘式

故

且

，解得：