希臘幾何三大問題

希臘人強調作圖只能用直尺圓規，有下列原因：

①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設）出發，推導出儘可能多的命題。對於作圖工具，自然也相應地限制到不能再少的程度。

②受柏拉圖哲學思想的影響。柏拉圖片面強調數學在訓練智力方面的作用而忽視其實用價值。他主張通過幾何學習達到訓練邏輯思維的目的，因此工具要有所限制，正象體育競賽要有器械的限制一樣。

③以畢達哥拉斯學派為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學最基本的研究對象。有了尺規，圓和直線已經能夠作出，因此就規定只使用這兩種工具。歷史上最早明確提出尺規限制的是伊諾皮迪斯，以後逐漸成為一種公約，最後總結在歐幾里得的《幾何原本》之中。

圓和正方形都是常見的圖形，怎樣用尺規作一個正方形與已知圓等積？在歷史上，也許沒有任何一個幾何問題象這個"化圓為方"問題那樣強烈地引起人們的興趣。早在公元前5世紀就有許多人研究這個問題,希臘人對於這種活動用一個專門的字

來表示,意思是“獻身於化圓為方問題”，可見事情相當普遍。這問題的最早研究者是安納薩戈拉斯，他因"不敬神"的罪名被捕入獄，在獄中潛心研究化圓為方問題。以後著名的研究者有希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等人。安提豐提出一種“窮竭法”，是近代極限論的雛形。先作圓內接正方形（或正6邊形）,然後每次將邊數加倍，得內接8、16、32、…邊形,他相信“最後”的正多邊形必與圓周重合。這樣就可以化圓為方了。結論是錯誤的，然而卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導。與中國劉徽的割圓術不謀而合。

用尺規二等分一個角是輕而易舉的,對於某些角,如90°、135°、180°，三等分也不難。自然會提出三等分任意角的問題。如能將60°角三等分，就可以作出正18邊形和正9邊形,三等分角問題就是由這一類問題引起的。關於倍立方問題的起源，有兩個神話傳説。第一個説鼠疫襲擊提洛島（愛琴海上小島），一個預言者説已經得到神的諭示，必須將立方形的阿波羅祭壇體積加倍，瘟疫方能停息。

一個工匠簡單地將壇的各邊加倍（體積變成原來的8倍），這並不符合神的意旨,因此瘟疫更加猖獗。錯誤發現後，希臘人將這個”提洛問題”去請教柏拉圖。柏拉圖説：神的真正意圖是想使希臘人為忽視幾何學而感到羞愧。另一個故事説克里特王米諾斯為兒子修墳，命令將原來設計的體積加倍，但仍保持立方的形狀。

公元前5世紀,雅典的“智人學派”以上述三大問題為中心，開展研究。正因為不能用尺規來解決，常常使人闖入新的領域中去。例如激發了圓錐曲線、割圓曲線以及三、四次代數曲數的發現。

17世紀解析幾何建立以後，尺規作圖的可能性才有了準則。1837年P.L.旺策爾給出三等分任意角和倍立方不可能用尺規作圖的證明,1882年C.L.F.von林德曼證明了 π的超越性，化圓為方的不可能性也得以確立。1895年（C.）F.克萊因總結了前人的研究，著《幾何三大問題》(中譯本,1930)一書,給出三大問題不可能用尺規來作圖的簡明證法，徹底解決了兩千多年的懸案。

雖然如此，還是有許多人不管這些證明，想壓倒前人所有的工作。他們宣稱自己已解決了三大問題中的某一個，實際上他們並不瞭解所設的條件和不可解的道理。三大問題不能解決，關鍵在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什麼難題，而且早已解決。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面為了敍述簡單，將原題稍加修改。在直尺邊緣上添加一點，命尺端為。設所要三等分的角是∠，以為心，為半徑作半圓交角邊於、；使點在延線上移動,點在圓周上移動，當尺通過時，聯（見圖）。由於==，易知。

這裏使用的工具已不限於尺規，而且作圖方法也與公設不合。另外兩個問題也可以用別的工具解決。