布洛赫波

布洛赫波由一個平面波和一個週期函數

（布洛赫波包）相乘得到。其中

與勢場具有相同週期性。布洛赫波的具體形式為：

式中k為波向量。上式表達的波函數稱為布洛赫波函數。當勢場具有晶格週期性時，其中的粒子所滿足的波動方程的解ψ存在性質：

這一結論稱為布洛赫定理（Bloch's theorem），其中

為晶格週期向量。可以看出，具有上式性質的波函數可以寫成布洛赫波函數的形式。

平面波波向量

（又稱“布洛赫波向量”，它與約化普朗克常數的乘積即為粒子的晶體動量）表徵不同原胞間電子波函數的位相變化，其大小隻在一個倒易點陣向量之內才與波函數滿足一一對應關係，所以通常只考慮第一布里淵區內的波向量，即所謂“簡約波向量”。對一個給定的波矢和勢場分佈，電子運動的薛定諤方程具有一系列解，稱為電子的能帶，常用波函數的下標n以區別。這些能帶的能量在

的各個單值區分界處存在有限大小的空隙，稱為能隙。在第一布里淵區中所有能量本徵態的集合構成了電子的能帶結構。在單電子近似的框架內，週期性勢場中電子運動的宏觀性質都可以根據能帶結構及相應的波函數計算出。

上述結果的一個推論為：在確定的完整晶體結構中，布洛赫波向量

是一個守恆量（以倒易點陣向量為模），即電子波的羣速度為守恆量。換言之，在完整晶體中，電子運動可以不被格點散射地傳播（所以該模型又稱為近自由電子近似），晶態導體的電阻僅僅來自那些破壞了勢場週期性的晶體缺陷以及電子與聲子的相互作用。

從薛定諤方程出發可以證明，哈密頓算符與平移算符的作用次序滿足交換律，所以週期勢場中粒子的本徵波函數總是可以寫成布洛赫波函數的形式。更廣義地説，本徵函數滿足的算符作用對稱關係是羣論中表示理論的一個特例。

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶態固體的導電性時首次提出的，但其數學基礎在歷史上卻曾由喬治·威廉·希爾（1877年），加斯東·弗洛凱（1883年）和亞歷山大·李雅普諾夫（1892年）等獨立地提出。因此，類似性質的概念在各個領域有着不同的名稱：常微分方程理論中稱為弗洛凱理論（也有人稱“李雅普諾夫-弗洛凱定理”）；一維週期性波動方程則有時被稱為希爾方程。