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嵌入不等式
鎖定
嵌入不等式（全稱：三角形內角的嵌入不等式），是1867年英國數學家約瑟夫·沃爾斯滕霍姆（英語：Joseph Wolstenholme）提出的數學術語，屬於平面幾何中的一個不等式。
- 中文名
- 嵌入不等式
- 表達式
- (x-ycosC-zcosB)^2+(ysinC-zsinB)^2≥0
- 提出者
- 約瑟夫·沃爾斯滕霍姆
- 提出時間
- 1867年
- 適用領域
- 數學
- 性 質
- 公式
- 特 點
- 成立
- 來源出處
- 《數學問題集》
嵌入不等式證明
原式等價於：
(x-ycosC-zcosB)^2+(ysinC-zsinB)^2≥0
成立
嵌入不等式變形
嵌入不等式的等價形式(1)
設A+B+C=(2k+1)π
x,y,z∈R
則有
xy[sin(C/2)]^2+zx[sin(B/2)]^2+yz[sin(A/2)]^2>=(1/4)(2xy+2yz+2zx-x^2-y^2-z^2)
等號成立當且僅當x:y:z=sinA:sinB:sinC
嵌入不等式的等價形式(2)
設A+B+C=(2k+1)π
x,y,z∈R
則有
(x+y+z)^2>=4{xy[cos(C/2)]^2+zx[cos(B/2)]^2+yz[cos(A/2)]^2}
等號成立當且僅當x:y:z=sinA:sinB:sinC
